Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу вернуться к теме доказательства иррациональности числа √2. На своем канале я уже несколько раз их публиковал.
В комментариях к этим постам неравнодушные Читатели часто аргументировали своё несогласие с самой методологий доказательства. Почти в каждом из них мы предполагаем, что √2 - это рациональное число, а затем приводятся аргументы, опровергающие это утверждение.
В основном вся полемика сводится к критике конструктивизма в математике, в угоду интуиционизма - направления, которое отрицает справедливость закона исключенного третьего. Об этом я тоже уже успел написать:
Еще подробнее в статье с говорящим названием "Шизофрения в современной математике" "E. Bishop (скачать в Телеграм). Труд, кстати достоин перевода на русский язык.
На самом деле, мне всё равно не совсем понятна логика этой критики, поэтому сегодня я нашел для вас доказательство, которое не использует никакие "ложные" посылки.
Однако, перейдем к доказательству. По сути оно будет использовать метод бесконечного спуска, который разработал Пьер Ферма. Его изюминка в том, что мы построим алгоритм, который для каждого натурального N позволит найти натуральное число, меньшее его.
Согласно одной из формулировок леммы Цорна, если у каждого линейно-упорядоченного подмножества ( например, 3,4,5,19,25) вполне упорядоченного множества (все натуральные числа) есть нижняя грань (нижняя грань в примере - это 3), то в нём существует минимальный элемент. В области натуральных чисел таким минимальным элементом является число 1. Возможность явного задания алгоритма бесконечного спуска входит в противоречие с этим утверждением.
Мы предполагаем, что числа a и b существуют, и это вполне себе прозрачное предположение.
Например, пусть а= 12363265123 и b = 547477. Неравенство выполняется.
Рассмотрим варианты
a и b - четные числа
В таком случае у них, как минимум, есть максимальный общий делитель, который является степенью двойки:
Запишем это в общем виде:
а' и b' не могут быть одновременно четными, т.к в этом случае мы просто выбрали не максимальную степень двойки в качестве делителя (посмотрите на конкретный пример выше, при а=128, b=24 соответствующие числа a' = 16 , b' = 3).
Пусть a' - нечетное
В таком случае a', возведенное в квадрат, будет нечетным, и неравенство превращается в строгое:
Пусть a' - четное
В таком случае a' будет четным, а b' в квадрате - нечетным, и мы опять получаем строгое неравенство:
Рассмотрев эти варианты, мы получили числа, меньшие исходных, для которых всё еще выполняется неравенство, причем строго.
Теперь введем переменные уже с двумя штрихами:
Выше мы видим основную изюминку доказательства, заключающуюся в тонком выборе a'' и b''. Займемся преобразованиями:
То есть новые числа с двумя штрихами находятся ближе к √2, чем прошлые.
Теперь осталось доказать, что это отношение всё еще больше, чем √2:
Теперь у нас проторенная дорожка: создаем переменные с тремя штрихами, четырьмя и т.д. Вот только рано или поздно по лемме Цорна мы должны уткнуться в минимальный элемент множества натуральных чисел. Другими словами, мы описали алгоритм, воспроизводящий бесконечную цепочку рациональных приближений к √2. А это противоречит самому определению рационального числа. Следовательно √2 - число иррациональное.
- Спасибо за внимание!
