Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В прошлом материале я рассказывал про одно красивое доказательство иррациональности числа √2, в котором использовал один из классических методов доказательства от противного - метод бесконечного спуска.
Разработал его всем известный француз Пьер Ферма прежде всего с целью решения диофантовых уравнений в целых числах. Метод опирается на фундаментальное свойство натуральных чисел - вполне упорядоченность. Давайте с ним познакомимся, а затем рассмотрим пример решения на конкретной задаче. Поехали!
Вполне упорядоченное множество
Итак, возьмем любую последовательность натуральных чисел. Например, такую:
Это может показаться тривиальным, но у каждого из конечных подмножеств натуральных чисел есть общее свойство - их всегда можно упорядочить от минимального элемента к максимальному. То же можно сказать и обо всём множестве натуральных чисел: очевидно, что его минимальным элементом является 1.
Как обратный пример множества не допускающего вполне упорядоченность можно привести множество целых чисел. Понятно, что среди целых чисел нет наименьшего отрицательного.
Тем не менее и целые и натуральные числа - линейно упорядоченные множества, т.к. для каждой пары их элементов сравнима: 1≥-1 , 3≤5, 4≤4 и т.д. Но это так, для справки. Едем дальше
Метод бесконечного спуска
Метод разработанный Пьером Ферма как раз отпирается на приведенные выше суждения. Общая схема доказательства такова:
- предполагается существование некоего решения или справедливость утверждения;
- показывается, что из первоначальных условий можно вывести и следующее, тем или иным образом связанное с убывающими натуральными числами (например, занумерованное);
- доказывается, что этот процесс можно продолжать бесконечно, что приводит в противоречие с вполне упорядоченностью множества натуральных чисел;
- исходное утверждение оказывается неверным или не существует.
По сути мы имеем классический метод математической индукции!
Пример решения
Данный метод лучше всего используется для доказательства отсутствия решения. Допустим, докажем отсутствие решений в натуральных числах у такого уравнения:
Предположим, что у него есть такое решение, при чем, без потери общности, положим, что z в нём - минимальное:
Понятно, что левая часть уравнения должна делиться на 3. Так как речь идёт о сумме, то и каждое слагаемое должно так же делиться на 3:
Подставим x и y, выраженное через некоторые переменные a и b в исходное уравнение:
Понятно, что 3 должно делиться на z, а значит мы можем выразить z через произвольную переменную c:
Таким образом, мы показали, что если (x,y,z) - решение нашего уравнения в натуральных числах, то для него найдется решение (x/3,y/3,z/3) - меньшее его.
Так как мы получили после преобразований то же самое уравнение, это процесс можно продолжать бесконечно, что приводит к противоречию с вполне упорядоченностью множества натуральных чисел. Следовательно, наше уравнение не имеет решения! Спасибо за внимание!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас. На канале есть статьи на любой вкус!