Барышников родился 11 ноября 1948 года в селе Чля Хабаровского края. После окончания Тахтинской средней школы поступил на факультет физического воспитания Хабаровского педагогического института, где занимался разными видами легкой атлетики под руководством Евгения Анисимова, выпускника Ленинградского института физкультуры имени П. Ф. Лесгафта, кандидата педагогических наук. По итогам 1968 года представитель хабаровского «Буревестника» вошел в десятки лучших спортсменов-юниоров страны в толкании ядра (15 м 97 см) и в метании диска (50 м 52 см). В 1970‑м, окончив институт, мастер спорта Барышников по приглашению знаменитого тренера Виктора Алексеева приехал в наш город и стал тренироваться у этого выдающегося специалиста. В толкании ядра спортсмен освоил разработанную Алексеевым новую технику — с вращением, подобно метателю диска (круговой мах). В 1972 году ленинградский динамовец вошел в сборную команду страны, установил рекорд СССР — 20 м 54 см, победил на всесоюзном чемпионате (19,68), участвовал в Олимпийских играх в Мюнхене, но там выступил неудачно, толкнув снаряд всего на 18,65. В двух следующих сезонах Барышников снова побеждал на чемпионатах СССР. В июне 1974‑го ленинградец побил рекорд Европы, толкнув ядро на 21 м 70 см, в 1975‑м завоевал серебряную медаль на Спартакиаде народов СССР.
Летом 1976 года на стадионе «Коломб» в северо-западном пригороде Парижа проводился матч СССР — Франция по легкой атлетике, победу в котором со счетом 215:130 одержала советская команда. Вклад в этот успех внес и Александр Барышников, первенствовавший в толкании ядра. К тому времени мировым рекордом владел американец Терри Олбриттон, показавший в феврале 1976‑го результат 21,85. 10 июля около девяти часов вечера по местному времени атлет из Ленинграда в первой попытке послал снаряд ровно на 22 метра! Так он стал первым и единственным до настоящего времени отечественным рекордсменом мира в толкании ядра среди мужчин. После соревнований Александр ради интереса взвесился на багажных весах в парижском аэропорту и выяснил, что потерял 4 килограмма.
Двумя неделями позже Барышников занял третье место на играх XXI Олимпиады в Монреале — 21,00 (в квалификации установил олимпийский рекорд — 21,32). Он выступил и на третьих для себя Играх — в Москве в 1980‑м, где завоевал серебряную награду (21,08). Тогда Александр тренировался под руководством олимпийской чемпионки Надежды Чижовой — его наставник Алексеев скоропостижно скончался в 1977‑м. Спортивную карьеру Барышникова украсили победы в чемпионатах страны, призовые места в летнем и зимних чемпионатах Европы, а установленный им мировой рекорд держался два года и был улучшен Удо Бейером из ГДР на 15 сантиметров — столько же прибавил к достижению Олбриттона в свое время и Барышников. По окончании спортивной карьеры Александр Георгиевич работал тренером в динамовском спортобществе. Награжден орденом «Знак Почета» (в 1980‑м), медалью «За трудовое отличие» (в 1976‑м).
