Рассмотрим решение экономической задачи из ЕГЭ-2023.
1. В июле 2025 г. планируется взять кредит сроком 10 лет на сумму 1300 тыс. р. Условия его возврата таковы:
1) Каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года.
2) С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
3) В июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем в прошлом году.
4) В июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше, чем в прошлом.
5) Кредит должен быть погашен к июлю 2035 г.
Найдите сумму долга в 2030 году, если известно, что сумма всех платежей равна 2580 тыс. р.
Решение. Все вычисления выполняем в миллионах рублей. Обозначим суммы уменьшения долга в каждый их первых пяти лет x, а в каждый их последних пяти лет y.
Будем последовательно заполнять таблицу.
Так как в июле 2035 года долг будет выплачен, то последний остаток долга равен нулю, составим первое уравнение:
1,3 – 5x – 5y = 0. (1)
Теперь заполним второй столбец таблицы.
Теперь вычислим выплаты для каждого года как разность сумм из второго и четвёртого столбца таблицы для каждого года.
2026 год — 1,2 ∙ 1,3 – (1,3 – x) = 0,26 + x;
2027 год — 1,2 ∙ (1,3 – x) – (1,3 – 2x) = 0,26 + 0,8x;
2028 год — 1,2 ∙ (1,3 – 2x) – (1,3 – 3x) = 0,26 + 0,6x;
2029 год — 1,2 ∙ (1,3 – 3x) – (1,3 – 4x) = 0,26 + 0,4x;
2030 год — 1,2 ∙ (1,3 – 4x) – (1,3 – 5x) = 0,26 + 0,2x.
Если заметить, что первое слагаемое 0,26 остаётся неизменным, а второе уменьшается на 0,2x, то вычисления можно упростить.
2031 год — 1,2 ∙ (1,3 – 5x) – (1,3 – 5x – y) = 0,26 – x + y;
2032 год — 1,2 ∙ (1,3 – 5x – y) – (1,3 – 5x – 2y) = 0,26 – x + 0,8y;
2033 год — 1,2 ∙ (1,3 – 5x – 2y) – (1,3 – 5x – 3y) = 0,26 – x + 0,6y;
2034 год — 1,2 ∙ (1,3 – 5x – 3y) – (1,3 – 5x – 4y) = 0,26 – x + 0,4y;
2035 год — 1,2 ∙ (1,3 – 5x – 4y) – (1,3 – 5x – 5y) = 0,26 – x + 0,2y.
Здесь тоже можно заметить упрощение вычислений.
Теперь сложим выплаты за 10 лет, получим:
10 ∙ 0,26 + (x + 0,8x + 0,6x + 0,4x + 0,2x – 5x) +
+ (y + 0,8y + 0,6y + 0,4y + 0,2y) = 2,6 – 2x + 3y.
По условию задачи эта сумма составит 2,58, составим второе уравнение:
2,6 – 2x + 3y = 2,58. (2)
Так как требуется найти сумму долга в 2030 году, то есть 1,3 – 5x, то найдём значение 5x из системы уравнений (1) и (2):
Из первого уравнения системы выразим y через x:
y = 0,26 – x.
Вместо y во второе уравнение подставим 0,26 – x и решим полученное уравнение:
2,6 – 2x + 3(0,26 – x) = 2,58,
3,38 – 5x = 2,58,
5x = 0,8.
Теперь вычислим 1,3 – 5x:
1,3 – 5x = 1,3 – 0,8 = 0,5.
Остаток долга в 2030 году составит 0,5 млн руб.
Ответ. 0,5 млн руб.
Задача не сложная, но требует большой аккуратности и большого терпения от решателя.