Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу поговорить с Вами об особом математическом языке, концепция которого осуществила переворот в математическом анализе. Речь, конечно же, пойдет о языке "эпсилон-дельта", знакомом многим со студенческой скамьи, позволившим формализовать такое важнейшее понятие, как предел.
История вопроса
Для начала математики пытались познать такое понятие как бесконечно малая величина. На интуитивном уровне с ним сталкивался еще Пьер Ферма в начале 17 века:
Однако, каких-то строгих правил обращения с этими новыми объектами математики, конечно, не было. Ферма научился сам и научил следующие несколько поколений математиков лишь пренебрегать ими, особенно, возведенными в высокие степени.
Только к концу 17 века, в то время, когда Исаак Ньютон заложил основы современного дифференциального исчисления в трактате "Метод флюксий", стали появляться первые более-менее формальные определения бесконечно малых - как концепции «бесконечно маленького момента времени».
Главный соперник Ньютона Готфрид Лейбниц, тоже не добился прорыва на этом поприще, хотя мыслил уже не кинематически (рассматривая прямые лишь как траектории движения точек), а алгебраически - предпринимая попытки даже манипулировать бесконечно малыми как самостоятельными величинами. Хотя к концу жизни уже пришел к выводу, что бесконечность нужно рассматривать как потенциальную, а не акутальную величину.
Если хотите разобраться, какими бывают бесконечности - прошу сюда:
Следующим действующим лицом является Огюстен Луи Коши, именем которого и называется одно из современных определений предела. Однако, по широко известному закону Стиглера «Ни одно научное открытие не было названо в честь его первооткрывателя».
Оказывается, некоторые доказательства Коши (книга 1821 года "Курс анализа") содержат всего-лишь признаки применения языка "эпсилон-дельта". Строгое же определение предела дал в 1861 году Карл Вейерштрасс, введя и привычные нам обозначения.
В итоге в стандартном математическом анализе была принята концепция "потенциальной бесконечности" - как некоторого свойства математической величины стремиться к какому-либо пределу.
Мотивация определения предела
Представьте себе путешественника, который пытается забраться на холм высотой L и в данный момент находится на высоте h:
Что же будет по мере приближения к холму (вы легко можете представить, что это график некоторой функции)? Давайте поставим путешественнику цель: приблизиться к вершине холма на десять или меньше метров по высоте.
В таком случае путешественник может сказать, что если он находится по горизонтали в плюс-минус 30 (например!) метрах от вершины, то он точно находится в пределах 10 метров от вершины по высоте. Усложним ему задачу! Скажем, а подойди на расстояние в 1 метр!
Обобщая вышеупомянутую концепцию, мы можем сказать, что высота путешественника h приближается к L по мере приближения его горизонтального положения к p, то есть для каждой заданной нами точности, какой бы малой она ни была, существует некоторая "удовлетворительная" окрестность. Это и есть язык "эпсилон-дельта"!
Формальное определение предела на языке "эпсилон-дельта" для функций
Итак, ε - это ошибка по расстоянию, которую мы ставим перед путешественником (будь не дальше ε метров от вершины по высоте!), а δ - это расстояние путешественника до вершины (подойдя ближе δ метров слева или справа к вершине по горизонтали, он достигнет цели находиться на расстоянии, меньшим ε по высоте). Формально,это звучит следующим образом:
Еще отличный способ запомнить определение предела по Коши: когда противник атакует Вас с ε, вы защищаетесь величиной δ.
В случае, если на каждую "атаку" соперника Вы представляете адекватный ответ, величина L имеет право называться пределом функции f(x) в точке p:
Это и есть классическое определение предела функции по Коши. Надеюсь, аналогия доступная и понятная!
Пример для конкретной функции
Рассмотрим такую функцию и удостоверимся, что её предел вычислен верно:
Пусть значение ε>0 задано, тогда нужно найти такое δ>0, что:
Отбиваемся! Нужно показать связь ε и δ, чтобы выполнялось вышеуказанное требование.
Пусть, например, ε = 0,1, тогда:
И этот бой может продолжаться бесконечно, какое бы ε нам не предлагали!
- Спасибо за внимание!