Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Мы уже многие десятки раз на канале оперировали бесконечными величинами: множествами, рядами, пространствами и т.д., но так до сих пор обходили стороной вопрос: а что есть сама бесконечность, как её понимать и какая она бывает. Сегодня хочу закрыть данный гештальт. Поехали!
Итак, в первую очередь, наше понимание бесконечность зависит от того, придаём ли мы её некий конечный смысл. Может показаться странным, ведь вроде бы это понятия - антиподы. Однако и в данной формулировке есть смысл.
Мы можем рассматривать бесконечность как потенциальную, т.е. не придавать её конечную сущность, но всё-таки использовать в математических построениях. Первым математиком, кто стал использовать потенциальную бесконечность, был Эвклид. В своём втором постулате он утверждает:
"Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой"
Т.е. потенциально, эта прямая может быть продолжена на бесконечность, но оперировать как бесконечной сущностью нет необходимости - на практике достаточно некоторого принятия этого свойства, принятия её как стремящейся к некому пределу последовательности.
С другой стороны бесконечность может быть актуальной. Это представление заключается в возможности оперировать бесконечностями как некоторыми реально существующими целостными объектами. Например, понятие бесконечно малого в нестандартном математическом анализе, о котором я уже рассказывал.
На самом деле каждой бесконечности, при необходимости, можно придать двуединый смысл. Рассмотрим как пример ряд натуральных чисел 1,2,3 ..... Разве подвергается сомнению, что для любого сколько угодно большого n можно выполнить операцию n+1 ? Но одно дело - иметь возможность (потенциальная бесконечность) выполнить операцию, а другое - "пощупать" конкретный результат такой операции (актуальная бесконечность).
Спор математиков о природе бесконечности поистине колоссален. Среди сторонников и той и той позиции, есть великие имена. Против существования актуальной бесконечности выступали отец топологии А. Пуанкаре, основатель математического интуиционизма Л. Брауэр и знаток теории чисел Л.Кронекер, которому принадлежит известная фраза: "Бог создал натуральные числа, а математики придумали всё остальное".
Хороший пример приводил Ф. Гаусс на примере числа π, которое можно всё более точно аппроксимировать, записывая следующие десятичные знаки, однако для точного его определения необходимо было бы взять актуальное бесконечное число знаков, что Гаусс не мог себе позволить. Именно поэтому, проще воспринимать π как потенциальную бесконечность.
По другую сторону баррикад был создатель математического анализа Г. Лейбниц и создатель теории множеств Г. Кантор, которого за такую позицию называли не иначе, как "шарлатаном, отступником и развратителем молодежи". Именно он ввёл понятие ординальных (трансфинитных) чисел, таких, что больше бесконечности ( о них я тоже уже писал), с которыми определил такие же арифметические операции, как и с обычными числами.
И тут ему тоже досталось от А.Пуанкаре, который выразил надежду, что теория Кантора - это болезнь, от которой математика когда-нибудь излечится.
Кантор перевернул взгляды математиков на бесконечность, биективно доказав, что вещественных чисел в отрезке [0;1] больше, чем натуральных или рациональных на всей числовой прямой, и на этом же отрезке столько же точек, сколько на всей этой прямой! А к сторонникам какой теории Вы относите себя, пишите в комментариях? Может быть и вовсе бесконечность следует запретить?