В 9 задании ОГЭ проверяют умение ученика решать простейшие линейные, квадратные и рациональные уравнения. В этой статье я кратко расскажу о способе решения каждого вида уравнения и приведу решения нескольких уравнений, которые могут попасться на ОГЭ.
Более подробно узнать про линейные уравнения можно тут.
Более подробно узнать про квадратные уравнения можно тут.
Более подробно узнать про рациональные уравнения можно тут.
Линейные уравнения
Определение 1. Уравнение — это равенство, содержащее одну или более неизвестных переменных, которые необходимо найти.
Определение 2. Линейные уравнения — это уравнения, у которых переменные находятся в первой степени.
Приведем алгоритм решения линейных уравнений.
1. Нужно упростить уравнение. Если в уравнении есть скобки — надо их раскрыть. Если есть дробные числа — избавиться от знаменателей.
2. Надо перенести числа с неизвестной переменной в левую часть равенства, а остальные числа в правую часть.
3. Привести подобные слагаемые. После этого мы получим уравнение вида
ax= b.
4. Избавиться от коэффициента перед x. То есть получить значение x:
Пример 1. Решите уравнение: 5(x+ 5) – 10 = 3x + 3.
Решение. Будем решать уравнение по алгоритму.
1. В этом уравнении есть скобки. Надо их раскрыть.
Примечание. Раскрытие скобок происходит по распределительному закону арифметики. Данный закон выглядит следующим образом:
Вернемся к уравнению:
2. Далее нам надо перенести числа с неизвестной переменной в левую часть равенства, а остальные числа в правую часть. При переносе из одной части в другую надо поменять знак у числа. То есть:
Почему при переносе меняется знак у чисел? Рассмотрим равенство 2 = 2 и перенесем двойку справа в левую часть без изменения знака. Имеем: 2 + 2 = 0 или 4 = 0. Получилось неверное равенство. Если мы поменяем знак, получим: 2 – 2 = 0 или 0 = 0 — верно.
3. Что значит привести подобные слагаемые? Это значит, что нужно сложить отдельно числа с неизвестной переменной и отдельно оставшиеся числа. То есть:
Примечание. Почему мы так сложили числа с x. Тут сработал распределительный закон, только уже в обратную сторону, то есть 5x – 3x= x(5 – 3) = 2x.
4. Осталось найти x, получаем:
Пример 2. Решите уравнение
Решение. В данном уравнении присутствует обыкновенная дробь. Некоторых такое может ввести в ступор. На самом деле ничего тут трудного нет. Просто надо избавиться от этой дроби от этого знаменателя. Каким образом? В уравнениях мы можем умножать или делить обе части уравнения одновременно на одно и то же число. На какое число надо домножить обе части, чтобы избавиться от пятерки в знаменателе. Логично, что надо домножить на 5. Давайте это сделаем:
Ответ: 5.
Разбор других примеров линейных уравнений можете изучить тут.
Квадратные уравнения
Общий вид квадратного уравнения:
где x — переменная; a, b и c – некоторые коэффициенты.
Квадратные уравнения разделяют на приведенные и неполные. Неполные квадратные уравнения — это квадратные уравнения, в которых коэффициент b и/или c равны нулю. Приведем примеры таких уравнений.
1. Приведенные уравнения:
2. Неполные уравнения:
Давайте сразу же попробуем решить уравнение
Перенесем –4 в правую часть, получим
Какой должен быть x, чтобы мы могли получить четверку. Мы можем возвести 2 в квадрат и получить 4, а также возвести –2 в квадрат и тоже получить 4. То есть
Следовательно, данное уравнение имеет два решения — 2 и –2. Сделаем вывод.
Какими способами можно решить уравнение?
1. Разложить на множители и решить два линейных уравнения.
2. Посчитать дискриминант и найти решение уравнения.
3. Воспользоваться теоремой Виета.
Разберем каждый способ решения.
1. Разложение на множители.
Запишем алгоритм решения квадратных уравнений через разложение на множители.
1. Переносим все переменные и числа в левую часть уравнения (справа должен получится 0).
2. Выполняем разложение на множители.
3. Каждую скобку приравниваем к нулю и решаем получившиеся линейные уравнения. Решения этих линейных уравнений будут решением исходного квадратного уравнения.
Пример 3.
Решение. Следуем алгоритму.
1. Переносим все в левую часть:
2. Разложим на множители:
3. Каждую скобку приравняем к нулю и решим получившиеся линейные уравнения:
1) имеем: x = 0;
2) имеем: x – 4 = 0 или x= 4.
Исходное уравнение имеет два решения x = 0 и x = 4.
2. Дискриминант
Дискриминант нам нужен для того, чтобы определить сколько будет решений в уравнении, и потом с помощью него найти эти решения.
Рассмотрим квадратное уравнение
Дискриминант для квадратных уравнений равен
Подставляя коэффициенты квадратного уравнения в формулу дискриминанта, мы получим некоторое число. Далее возможны три ситуации. Когда дискриминант больше нуля, равен нулю или меньше нуля. Рассмотрим каждый случай:
1) D < 0. Если дискриминант меньше нуля, значит, уравнение не имеет решений.
2) D = 0. Если дискриминант равен нулю, значит, уравнение имеет одно решение. Это решение находится по формуле:
3) D > 0. Если дискриминант больше нуля, значит, уравнение имеет два решения. Эти решения равны
Пример 4.
Решение. Приведем уравнение к виду
То есть перенесем всё в левую часть, имеем:
Вычислим дискриминант:
Дискриминант получился положительным, значит, уравнение имеет два решения:
Ответ: –1 и 6.
3. Теорема Виета
Теоремой Виета очень удобно пользоваться, когда в полном квадратном уравнение коэффициент перед x^2 равен 1. Как звучит эта теорема?
Для уравнения
которое имеет два решения, справедливо следующее:
То есть нам нужно подобрать такие два решения, сумма которых будет равна –b, а произведение c.
Комментарий. Лучше всегда начать перебирать решения в произведении, поскольку будет меньше вариантов для перебора. Разберем пример.
Пример 5.
Решение. Воспользуемся теоремой Виета:
Рассмотрим, какие вариант произведения двух решений удовлетворяют теореме Виета:
Из этих четырех вариантов, только решения 3 и 7 дадут в сумме 10.
Ответ: 3 и 7.
Разбор других примеров квадратных уравнений можете изучить тут.
Рациональные уравнения
Рациональное уравнение — это вид уравнения, в котором присутствует дробь, и переменная x находится в знаменателе этой дроби.
Как решать такие уравнения? Здесь надо избавиться от знаменателя. То есть надо умножить все уравнение на выражение, находящееся в знаменателе (чтобы знаменатель сократился). Давайте разберем это на конкретном примере.
Пример 6. Решим уравнение
Решение. В правой части уравнения находится дробь со знаменателем x + 3. Умножим все уравнение на x + 3 и получим линейное уравнение.
Перед тем как домножать на x + 3 надо сделать важное замечание.
Замечание. Еще с начальных классов мы знаем, что на ноль делить нельзя. Что представляет из себя дробь – это действие деления. То есть дробь четыре вторых это тоже самое, что 4 : 2 = 2. Значит, в знаменателе дроби также не может быть нуля.
В нашем примере дана дробь со знаменателем x + 3. Мы не можем сказать, чему точно равно это выражение (при различных значениях переменной выражение будет постоянно меняться). Но мы можем определить, при каких значениях x это выражение обратится в нуль. То есть надо решить уравнение:
Значит, при x = –3 дробь не будет существовать, потому что знаменатель будет равен нулю. Следовательно, уравнение при таком x решить нельзя.
Для чего мы нашли это значение переменной. В конце решения уравнения бывает получается несколько корней, и один из этих корней может обратить знаменатель в нуль. Следовательно, такой корень не будет являться решением.
Запомнили, что x не может быть равен –3. Решим уравнение:
После домножения на выражение x + 3 мы привели рациональное уравнение к линейному. Решаем полученное линейное уравнение:
Поскольку –8 не равно –3, значит, x = –8 — решение исходного уравнения.
Ответ: –8.
Пример 7. Решим уравнение
Решение. В данном уравнение присутствует две дроби с разными знаменателями — x и x + 2. Надо избавиться от них, то есть надо домножить уравнение на x ∙ (x + 2).
Найдем, при каких x знаменатели оборачиваются в нуль. При x = 0 и при x+ 2 = 0 или x = –2.
Запомним, что x не может быть равен –2 и 0. Решим уравнение:
Поскольку 2 не равно –2 и 0, значит, x = 2 — решение исходного уравнения.
Ответ: 2.
Разбор других примеров рациональных уравнений можете изучить тут.
Если Вы плохо понимаете математику и хотите повысить уровень знаний, можете записаться ко мне на занятия! Со мной можно связаться через телеграмм: @rd_mach. Или через авито.