Введение
Мы уже прошли линейные уравнения, в них переменная x была без степеней. Если в уравнении появляется x в степени 2, то такие уравнения уже будут называться квадратными.
Общий вид квадратного уравнения:
где x — переменная; a, b и c – некоторые коэффициенты.
Квадратные уравнения разделяют на приведенные и неполные. Неполные квадратные уравнения — это квадратные уравнения, в которых коэффициент b и/или c равны нулю. Приведем примеры таких уравнений.
1. Приведенные уравнения:
2. Неполные уравнения:
Давайте сразу же попробуем решить уравнение
Перенесем –4 в правую часть, получим
Какой должен быть x, чтобы мы могли получить четверку. Мы можем возвести 2 в квадрат и получить 4, а также возвести –2 в квадрат и тоже получить 4. То есть
Следовательно, данное уравнение имеет два решения — 2 и –2. Сделаем вывод.
Комментарий. Почему отрицательное число в квадрате всегда дает положительное число? Для этого надо вспомнить определение степени. Степень числа показывает, сколько раз мы должны умножить число на само себя. То есть, что такое a^2 — это произведение a ∙ a. Значит, если мы возводим отрицательное число в квадрат, мы умножаем друг на друга два отрицательных числа, тем самым получая положительное число. Например: (–2)^2 = (–2) ∙ (–2) = 4.
Какими способами можно решить уравнение?
1. Разложить на множители и решить два линейных уравнения.
2. Посчитать дискриминант и найти решение уравнения.
3. Воспользоваться теоремой Виета.
Разберем каждый способ решения.
Разложение на множители
Что значит разложить на множители? Если говорить простыми словами — это когда у нас есть одно большое выражение, и мы его представляем в виде произведения нескольких выражений поменьше. Например:
Запишем алгоритм решения квадратных уравнений через разложение на множители.
1. Переносим все переменные и числа в левую часть уравнения (справа должен получится 0).
2. Выполняем разложение на множители.
3. Каждую скобку приравниваем к нулю и решаем получившиеся линейные уравнения. Решения этих линейных уравнений будут решением исходного квадратного уравнения.
Пример 1.
Решение. Следуем алгоритму.
1. Переносим все в левую часть:
2. Разложим на множители:
3. Каждую скобку приравняем к нулю и решим получившиеся линейные уравнения:
1) имеем: x = 0;
2) имеем: x – 4 = 0 или x= 4.
Исходное уравнение имеет два решения x = 0 и x = 4.
Дискриминант
Дискриминант нам нужен для того, чтобы определить сколько будет решений в уравнении, и потом с помощью него найти эти решения.
Рассмотрим квадратное уравнение
Дискриминант для квадратных уравнений равен
Подставляя коэффициенты квадратного уравнения в формулу дискриминанта, мы получим некоторое число. Далее возможны три ситуации. Когда дискриминант больше нуля, равен нулю или меньше нуля. Рассмотрим каждый случай:
1) D < 0. Если дискриминант меньше нуля, значит, уравнение не имеет решений.
Пример 2.
Решение. Вычислим дискриминант:
Дискриминант получился отрицательным, значит, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.
2) D = 0. Если дискриминант равен нулю, значит, уравнение имеет одно решение. Это решение находится по формуле:
Пример 3.
Решение. Вычислим дискриминант:
Дискриминант равен нулю, значит, исходное уравнение имеет одно решение:
Ответ: 2.
Комментарий. Можно заметить, что левую часть уравнения можно возвести в полный квадрат, то есть
Это преобразование мы сделали по формуле
3) D > 0. Если дискриминант больше нуля, значит, уравнение имеет два решения. Эти решения равны
Пример 4.
Решение. Приведем уравнение к виду
То есть перенесем всё в левую часть, имеем:
Вычислим дискриминант:
Дискриминант получился положительным, значит, уравнение имеет два решения:
Ответ: –1 и 6.
Теорема Виета
Теоремой Виета очень удобно пользоваться, когда в полном квадратном уравнение коэффициент перед x^2 равен 1. Как звучит эта теорема?
Для уравнения
которое имеет два решения, справедливо следующее:
То есть нам нужно подобрать такие два решения, сумма которых будет равна –b, а произведение c.
Комментарий. Лучше всегда начать перебирать решения в произведении, поскольку будет меньше вариантов для перебора. Разберем пример.
Пример 5.
Решение. Воспользуемся теоремой Виета:
Рассмотрим, какие вариант произведения двух решений удовлетворяют теореме Виета:
Из этих четырех вариантов, только решения 3 и 7 дадут в сумме 10.
Ответ: 3 и 7.
Если Вы плохо понимаете математику и хотите повысить уровень знаний, можете записаться ко мне на занятия! Со мной можно связаться через телеграмм: @rd_mach. Или через авито.