Рациональное уравнение — это вид уравнения, в котором присутствует дробь, и переменная x находится в знаменателе этой дроби. Приведем пример рациональных уравнений:
Как решать такие уравнения? Здесь надо избавиться от знаменателя. То есть надо умножить все уравнение на выражение, находящееся в знаменателе (чтобы знаменатель сократился). Давайте разберем это на конкретном примере.
Пример 1. Решим уравнение
Решение. В правой части уравнения находится дробь со знаменателем x + 3. Умножим все уравнение на x + 3 и получим линейное уравнение.
Перед тем как домножать на x + 3 надо сделать важное замечание.
Замечание. Еще с начальных классов мы знаем, что на ноль делить нельзя. Что представляет из себя дробь – это действие деления. То есть дробь четыре вторых это тоже самое, что 4 : 2 = 2. Значит, в знаменателе дроби также не может быть нуля.
В нашем примере дана дробь со знаменателем x + 3. Мы не можем сказать, чему точно равно это выражение (при различных значениях переменной выражение будет постоянно меняться). Но мы можем определить, при каких значениях x это выражение обратится в нуль. То есть надо решить уравнение:
Значит, при x = –3 дробь не будет существовать, потому что знаменатель будет равен нулю. Следовательно, уравнение при таком x решить нельзя.
Для чего мы нашли это значение переменной. В конце решения уравнения бывает получается несколько корней, и один из этих корней может обратить знаменатель в нуль. Следовательно, такой корень не будет являться решением.
Запомнили, что x не может быть равен –3. Решим уравнение:
После домножения на выражение x + 3 мы привели рациональное уравнение к линейному. Решаем полученное линейное уравнение:
Поскольку –8 не равно –3, значит, x = –8 — решение исходного уравнения.
Ответ: –8.
Разберем еще два примера.
Пример 2. Решим уравнение
Решение. В данном уравнение присутствует две дроби с разными знаменателями — x и x + 2. Надо избавиться от них, то есть надо домножить уравнение на x ∙ (x + 2).
Найдем, при каких x знаменатели оборачиваются в нуль. При x = 0 и при x+ 2 = 0 или x = –2.
Запомним, что x не может быть равен –2 и 0. Решим уравнение:
Поскольку 2 не равно –2 и 0, значит, x = 2 — решение исходного уравнения.
Ответ: 2.
Примечание. Когда мы ищем при каких переменных мы можем решать уравнение, мы ищем так называемое ОДЗ (область допустимых значений).
Определение. Область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых данное выражение определено.
То есть ОДЗ уравнения во втором примере является x ≠ 0 и x ≠ –2. То есть при всех x, кроме –2 и 0, уравнение имеет смысл.
Пример 3. Решите уравнение
Решение. Домножим уравнение на x ∙ (x +1). Запишем ОДЗ: x ≠ 0 и x+ 1 ≠ 0 или x ≠ –1. Решим уравнение:
Откуда имеем два решения x = 0 и x = 2. Но в ОДЗ мы записали, что x ≠ 0. Значит, решением будет только x = 2.
Ответ: 2.
Если Вы плохо понимаете математику и хотите повысить уровень знаний, можете записаться ко мне на занятия! Со мной можно связаться через телеграмм: @rd_mach. Или через авито.