В процессе подготовки разборов задач для школьников как-то непроизвольно обращаешь внимание на возможность сделать ряд дополнительных выводов на основании используемых рассуждений, выкладок и результатов. Так было, например, в случае «Размышлений о скругленности и угловатости», затрагивающих группу сходных упражнений по геометрии. Вот и в этот раз оказалось, что из нескольких заданий по алгебре можно вывести ряд своеобразных соотношений.
В задании А-57 выполнялось построение графика функции y = cos(arcsin(sin x)) (рис. 1).
Обращает на себя внимание, что он полностью совпадает с графиком функции y=|cos x|, который можно получить из косинусоиды, если все её точки, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить в верхнюю полуплоскость. На основании этого можно записать:
Используя основное тригонометрическое тождество
и вводя обозначение t = sin x получаем:
Как известно, производная функции арксинус выражается так:
Из соотношения (2) следует, что её можно записать иначе:
Если теперь обратиться к результату, полученному в задании А-58 (рис. 2),
то нетрудно убедиться, что графики y = sin(arccos(cos x)) и y = |sin x| также совпадают, свидетельствуя о справедливости равенства
которое с учётом того, что
даёт выражение, аналогичное (2):
Трудно не заметить, что одинаковость правых частей (2) и (5) приводит к тождеству, справедливость которого при t ∈ [–1; 1] доказывалось в разборе задания А-56:
Поскольку (arccos x)' = –(arcsin x)' , то соотношение (5) позволяет также записать выражение для производной функции арккосинус в виде
С учётом (6) возможны и такие варианты:
Из рис. 1, 2 видно, что линии графиков обеих функций одинаковы, и один получается из другого смещением на π/2 по оси абсцисс. Из этого следует, что будет выполняться ещё и такое равенство
которое после приведения и замены cos(x – π/2) = sin x = t оказывается тождеством (6).
См. также: