От школьной математики до математического анализа на примере вычисления объемов. Начнем с простого, закончим чистой математикой и приложением на базе исторических фактов. Готовы? Тогда погнали... 😎👇
∫𝝅⋅r²⋅dh = Volume cylinder... Помните такую формулу? По сути, это объем диска. А диск и цилиндр топологически одинаковые фигуры, верно?
Простенькая, но интересная задачка по геометрии для 9-10 классов. Практика показывает, что взрослые тоже ошибаются, ведь с первого взгляда ответ неочевиден.
▪️ Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела определяется его формой и линейными размерами. Основное свойство объёма — аддитивность , то есть объём любого тела равен сумме объёмов его (непересекающихся) частей.
▪️ На практике приблизительный объём тела, в том числе сложной формы, можно вычислить по закону Архимеда, погрузив это тело в жидкость: объём вытесненной жидкости будет равен объёму измеряемого тела.
Решение:
Зная формулу объема для цилиндра, мы можем посчитать объем в каждом из пяти случаев.
Тогда, чтобы получить ответ, нам нужно просчитать все произведения D²⋅h. И где это произведение будет максимальным и минимальным, находятся нужные нам ответы.
Объем фигуры, полученной путем вращения функции вокруг некоторой оси
Но что делать, если у нас какая-то более сложная фигура, полученная вращением кривой z = f(y) вокруг оси OY в трёхмерной декартовой системе координат? Тогда нам понадобится рисунок для визуализации.
Практический пример
Найти объем параболоида высотой h = 8 единиц вдоль оси OY.
Решение:
Тонкий диск, объем которого можно выразить через объем цилиндра: dV = 𝝅⋅r²⋅dy = 𝝅⋅[z(y)]²⋅dy. Проинтегрировав данный элементарный объем dV в нужных нам пределах от a до b, получим объем нужно фигуры.
Тогда полное математическое решение для нашего случая распишется следующим образом:
В геометрии параболоид — это четырехугольная поверхность, которая имеет ровно одну ось симметрии и не имеет центра симметрии. Термин "параболоид" происходит от параболы, которая относится к коническому сечению, обладающему аналогичным свойством симметрии.
Четырехугольная поверхность — это трёхмерная фигура, определяемая полиномиальными уравнениями второй степени по трём переменным. Она охватывает различные трёхмерные формы, такие как эллипсоиды, сферы, цилиндры, конусы, параболоиды и гиперболоиды.
Свойства четырехугольных поверхностей: симметрия, кривизна и ориентация. Конкретные свойства зависят от коэффициентов в уравнении и определяют форму и характеристики поверхности.
Применение четырехугольных поверхностей: в математике, инженерном деле, физике, компьютерной графике и архитектуре. Они используются для моделирования объектов и явлений реального мира, а также в задачах оптимизации и проектирования.
Важные физические свойства параболоида
На оси круглого параболоида есть точка, называемая фокусом (или фокальной точкой), так что, если параболоид является зеркалом, свет (или другие волны) от точечного источника в фокусе отражается в параллельный луч, параллельный оси параболоида. Это работает и наоборот: параллельный луч света, параллельный оси параболоида, концентрируется в фокальной точке.
Таким образом, форма круглого параболоида широко используется в астрономии для параболических отражателей и параболических антенн.
Поверхность вращающейся жидкости также является круглым параболоидом. Используется в телескопах с жидким зеркалом и при изготовлении твердых зеркал телескопа [вращающаяся печь].
Факты из истории и практическая математика
Несмотря на высокую популярность этого мифа, Архимед, скорее всего, не погружал «золотую» корону в ванную, наполненную до краев, чтобы определить объем короны, а следовательно плотность и чистоту сплава.
Архимед изобрел примитивную форму гидростатических весов. Тогда плотность вещества он мог найти двумя способами.
Способ 1. Заготовка и кусок чистого золота одинакового веса помещались на концы рычажных весов. Затем весы опускались в воду. И уже в воде весы отклонялись в зависимости от разности объемов. К примеру, внутри золотого изделия мастер поместил кусок меди, плотность которой меньше плотности золота. Значит в целом, такое изделие будет иметь бОльший объем, чем такое же по массе изделие из чистого золота. Поэтому в воде такое фейковое изделие будет «всплывать», потому что сила Архимеда на него будет действовать сильнее. И это не смотря на то, что в воздухе весы были уравновешены. Пожалуй, недостаток этого метода в том, что нужно иметь огромный кусок золота (в чистоте которого мы не сомневаемся), чтобы проверить другое изделие на чистоту. А если такого куска нет?
Способ 2. Гидростатическое взвешивание, которое по результатам последовательно взвешивания в воздухе и в воде. Сначала нужно взвесить в воздушной среде, а потом в жидкости с известной плотностью. Используем дистиллированную воду, для которой известна плотность 1 г/см3 при температуре +4 С. Давайте сразу к математике:
Таким образом, мы нашли плотность тела и объем тела сколь угодно сложной формы, когда мы не можем посчитать ни аналитически, ни численно. Метод гидростатического взвешивания широко используется в народном хозяйстве и является одним из стандартных способов определения плотности материалов. Гидростатическое взвешивание нашло применение в медицине с целью оценки жировой прослойки тела человека, что используется, к примеру, в диагностике ожирения.
Гидростатическое взвешивание позволяет быстро и без повреждения ювелирного изделия определить его пробу. Для определения пробы требуется взвесить ювелирное изделие и записать его вес m1. Затем, поставить на пустые весы стаканчик с водой и обнулить показание весов. Далее, следует аккуратно на ниточке опустить ювелирное изделие в воду так, чтобы оно находилось полностью в воде, но не касалось дна и стенок и снова записать показание весов m2. При делении m1 на m2 получится значение, которое, согласно таблице ниже, позволяет определить пробу ювелирного изделия.
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Лучший канал для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram