Задача о перемещении дивана была сформулирована канадским математиком австрийского происхождения Мозером (англ.) в 1966 году.
Постановка задачи
Задача сводится к двумерной идеализации житейской проблемы о перемещении мебели. В двумерном пространстве определите жёсткое тело наибольшей площади А, которое может быть перемещено в Г-образном «коридоре», образованном «тоннелями» шириной в единицу измерения, сходящимися под прямым углом. Полученное значение А принято называть константой дивана (в альтернативных формулировках той же самой задачи этот предмет является идеализацией стола, или же баржи или корабля в Г-образном канале).
Те, кому приходилось передвигать мебель в своей квартире или хотя бы присутствовать при этом, наверняка сталкивались с весьма традиционной проблемой: шкаф или диван, которые должны быть передвинуты в другую комнату, никак не могут «протиснуться» в нужное место по «извилистому» коридору. Можно предположить, что знаменитая задача о перемещении дивана, сформулированная в 1966 году, родилась в голове канадского математика Мозера именно в тот момент, когда он пытался переставить мебель.
Представьте, что вы имеете коридор, который изгибается в форме буквы Г (он образован двумя небольшими коридорчиками, образующими прямой угол), через который необходимо «протащить» диван или стол (выражаясь сухим языком математики — «жесткое тело наибольшей площади А» — константы дивана). В некоторых подобных задачах через канал такого же вида необходимо провести корабль или баржу. Каким же образом необходимо поступить в данном случае?
Поиски решения
Математики, занимающиеся решением этой задачи, начинали с того, что проводили за угол коридора полукруг единичного радиуса и оценивали константу дивана с нижней (π / 2 (1,570796327...) и верхней ( 2 sqr2 (2,828427124...) точек.
Так как полукруг единичного радиуса легко проводится за угол «коридора», оценкой снизу для константы дивана является (π / 2 ~ 1,570796327...).
Простая оценка сверху показывает также, что константа дивана не превышает (2√2 ~ 2,828427124…).
Джон Хаммерсли существенно повысил оценку снизу до (π/2 + 2/π ~ 2,207416099…) с помощью фигуры, напоминающей телефонную трубку.
В 1992 году Джозеф Гервер, также «перемещавший диван», ограничил его восемнадцатью дугами окружностей и снова улучшил оценку константы дивана снизу. На этот раз она являлась 2,219531669... Однако, несмотря на все попытки решить задачу, нахождение точного значения константы дивана до сих пор не увенчалось успехом, в связи с чем эта «головоломка» объявлена нерешенной математической проблемой.
В июне 2017 Йоав Каллус и Дэн Ромик доказали новую оценку сверху для константы дивана 2,37.
"Странно", - согласился Редж. "Я, конечно, никогда не сталкивался с какой-либо неразрешимой математикой с участием диванов. Возможно, новое направление. Вы говорили с любой пространственной геометрией?"
- Дуглас Адамс, детективное агентство Дирка Джентли"
Спустя более 50 лет вопрос, поставленный Лео Мозером не был разрешен до конца.
Чтобы понять, что делает этот вопрос сложным, давайте подумаем, какие формы "дивана" мы можем построить, которые могут перемещаться за углом. Как насчет единичного квадрата?
Ну, единичный квадрат имеет площадь 1 только; конечно, мы можем сделать лучше? Например, полукруг с радиусом 1-это еще один простой пример, который работает:
Полукруглая софа имеет более большую зону чем квадратное одно, π/2 (приблизительно 1.57). Также это более интересно, потому что движение вокруг угла происходит еще и с вращением, тогда как квадратный диван просто перемещают поступательно. Теперь, если мы смогли совместить вращение и поступательно движение, то возможно мы сможем построить диван еще большей площади? Действительно, математик Джон Хаммерсли заметил, что если полукруг разрезать на две четверти окружности, которые растянуть в стороны и зазор между ними заполнить прямоугольным блоком, то получится диван большей формы, который можно было бы перемещать за угол, если бы из прямоугольного блока также удалить меньшее полукруглое отверстие. Вот полученная форма, которая начинает выглядеть немного больше как настоящий диван:
Идея Хаммерсли работает для каждого значения между 0 и 1 радиуса полукруглого отверстия в нижней части. Форма такого типа дивана (смотри выше) с максимальной площадь получается, когда радиус выбирается 2/π (примерно 0.637), что дает площадь 2/π+π/2, или примерно 2.2074. Это намного лучше, чем площадь нашего "дивана идиота", единичного квадрата. Хаммерсли думал, что эта конструкция может быть оптимальной, но это оказалось ложным. В 1992 году Джозеф Гервер нашел лучшую форму с немного большей площадью около 2.2195. вот оно:
Джозеф Гервер не доказал, что его конструкция оптимальна, но он вывел свою форму дивана из соображений локальной оптимальности. Грубо говоря, площадь фигуры находится в равновесии при внесении небольших возмущений в траекторию, по которой фигура транспортируется, чтобы переместить ее за угол. Это приводит к дифференциальным уравнениям, которые могут быть решены, чтобы найти формулы для различных частей формы дивана (есть 3 прямых отрезков и 15 изогнутых частей, каждый из которых описывается своей собственной формулой). Таким образом, представляется вполне вероятным, что форма Гервер может быть правильным решением. Гервер предположил, что это так, и он остается самым известным на сегодняшний день.
Проблема передвижения диван имеет несколько других вариантов. Одно из их, изучено Джоном Хортоном Конвей (John Horton Conway) и другими, которые задались вопросом о форме диван самой большой площади, который можно двинуть вокруг поворота 90 градусов и к праву и к левой стороне. Путем расширенных методов, которые использовались Гервером, в его бумаге 1992, Джон Хортон нашел такую " зеркально-симметричную форму дивана" с площадью приблизительно 1.64495, который может быть самой большой возможной областью, передвигаемой по двойному «Г»-образному коридору. вот оно:
Аналогичные формы были вычислены численно с использованием аппроксимационных схем, разработанных Киеси Маруямой в 1973 году и Филиппом Гиббсом в 2014 году. Вывод дает решение в закрытой форме для фигуры. Он имеет 18 различных частей, каждая из которых задается отдельной формулой, полученной как решение некоторого дифференциального уравнения. Детали анализа весьма удивительны, например, получается, что площадь новой фигуры задается необычной формулой:
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram