Давно заметил, что математические доказательства обладают ультимативной убедительностью для людей, если последние не способны их проверить и не могут понять, как само доказательство, так и формулировку проблемы. Соответственно, при выполнении перечисленных условий, столкнувшись с математическим доказательством, многие люди начинают испытывать окончательную уверенность в чём-то таком, о чём те, кто утверждение формулировали и доказывали, не могли и помыслить. Характерным примером тут могут служить теоремы (их две) Гёделя. Есть мнение, – оно было высказано в комментариях к статье о применимости принципа познаваемости, – что теоремы о неполноте «доказывают невозможность полного рационального познания».
Следовательно, о теоремах. В 1930 году на конференции в Кёнингсберге молодой математик Курт Гёдель доказал неполноту формальных систем путём написания мелом на грифельной доске последовательности символов. И специалисты, способные данные символы интерпретировать, – благо почти все они в зале и поместились, – не нашли в формулах изъяна… Всё это было сказано не просто так, но – к сути. Первая теорема утверждала, что в любой формальной системе будут существовать непроверяемые (не выводимые и неопровержимые) утверждения. Вторая, – для контроля, – что в любой же системе нельзя доказать её полноту… Причём, всё это, разумеется, и не должно быть понятным, – если не объяснить.
Ключевое слово здесь «полнота».
«Формальная система» это набор аксиом. Всем знакома – в школе её проходят, причём, называя именно так, – аксиоматика Евклида, дающая определения основным понятиям геометрии. Аналогичным образом, образуя формальную систему, определяются понятия числа, единицы, ноля, бесконечности, сложения, отрицательного, положительного, комплексного и так далее. В рамках аксиоматики можно формулировать (выводить) теоремы и доказывать их, проверяя противоречит или нет аксиоматике утверждение.
Гёдель показал, что в рамках любой системы можно сформулировать утверждение недоказуемое и неопровержимое… И что тогда?
Ну допустим… Здесь некая загвоздка, ибо реальных примеров нет, так что, допустим, что Перельман, вместо того чтобы доказать гипотезу Пуанкаре (грубо, всякая односвязная трёхмерная фигура сводима к сфере), доказал, – а так в математике можно, – отсутствие решения у поставленной Пуанкаре задачи. Это очень печально, но другой, ещё более безумный Перельман в тот же время находит решение гипотезы Римана. Вот только решение это будет тем или иным в зависимости от того, сводима ли любая фигура к сфере… Обидно, да?
Обидно или нет, но дальше двигаться надо, и формальная система дополняется аксиомой о сводимости любой к сфере любой односвязной фигуры. Так можно. Аксиомы не требуют доказательств, а просто выбираются из соображений удобства дальнейших рассуждений. Мы же хотим порассуждать о следствиях гипотезы (а теперь, теоремы) Римана… И так до следующей, допустим, гипотезы Ходжа, разрулить которую опять удаётся лишь дополнив систему аксиом. Но она и тогда не будет полна, поскольку усложнение формальной системы позволит формулировать в её рамках более же сложные утверждения.
...Это всё очень интересно (математикам), однако пора переходить к вопросу, какое это имеет отношение к границам познания?
Во-первых, никакого. Теоремы Гёделя утверждают, что формальные системы могут усложняться бесконечно, – какие тут «границы»?
Во-вторых, тоже никакого. Гёдель доказал, что в любой системе аксиом можно сформулировать недоказуемое и неопровержимое утверждение… И что, собственно? На минуточку, формальная система целиком состоит из набора недоказуемых и неопровержимых утверждений – аксиом. Это же не является её недостатком.
В-третьих же, совсем никакого, потому что принцип познаваемости гласящий, что любое наблюдение a priori имеет познаваемое рациональным путём объяснение в рамках неизменных законов движения материи, – хотя и является основой современной научной парадигмы, но только в области наук естественных. В принципе, уже по формулировке можно понять, что к случаю точных, гуманитарных и общественных наук он банально неприменим.
Верно и обратное. Доказательство же теоремы неполноты математическое, не так ли? Ну и всё. С позиций естественных наук тем самым оно и ложно. Потому что с этих позиций доказательство может быть только экспериментальным. Теоремы Гёделя работают только в математике. К случаю физики они уже не применимы, несмотря на использование физикой математического аппарата для описания объективной реальности. Хотя бы потому, что одни и те же явления могут быть описаны с использованием разных аппаратов.
...И вот теперь можно задать вопрос уже правильный. Можно ли, если не доказать, то хотя бы сформулировать аналогичное «теореме и неполноте» утверждение для случая естественных наук. Ведь формальная система, – исходный набор заведомо непроверяемых утверждений, – характерна и для них.
Ответ будет отрицательным по причине, в принципе, уже раскрытой выше. Точные науки целиком работают в области субъективного, – предметом исследования является воображаемый мир чисел. Соответственно, аксиомы в них носят почти произвольный характер. Противоречить два исходных утверждения могут, разве что, друг другу… Гёдель показал, что в таких условиях система склонна к неограниченному возрастанию сложности.
Но естественные науки работают с наблюдаемым. Соответственно, аксиоматика делится на фундаментальную часть – принципы, – и частную – постулаты. Причём, принципы носят чрезвычайно общий характер и не могут быть опровергнуты наблюдениями, поскольку сами являются исходными посылками для толкования наблюдений (пример: если мы что-то наблюдаем, этому существует познаваемое рациональным путём естественное объяснение)…
Принципы не то чтобы не нуждаются в дополнениях, – нуждаются. Но это уже будут постулаты. Исходные положения, – подобные принципу неопределённости и предельности скорости света, – лежащие в основе отдельных теорий. Однако постулаты уже не произвольны. Пусть косвенно, – если окажется, что основанная на них теория даёт противоречащие наблюдениям предсказания, – они могут опровергаться.
Если проще, доказуемость утверждения в математике целиком определяются базой аксиом, соответственно, пределы известного всегда можно расширить, дополнив базу... Теорема о неполноте доказывает, что не просто можно, а и придётся дополнять… В физике это тупо не сработает. Ведение дополнительных постулатов что-либо доказать не поможет, поскольку они сами будут нуждаться в доказательстве.
