Прямая и обратная пропорциональные зависимости
Автомобиль проезжает за 1 час 60 км. Сколько он проедет за 2 часа? За 3 часа? За 4 часа?
Ученики 6-го класса легко решат эту задачу: если 1ч – 60 км, то за 2 ч – 120 км, за 3ч – 180 и так далее.
В §22 7-го издания учебника по математике для 6-го класса авторов А. Г. Мерзляка, В. Б. Полонского и М. С. Якира под редакцией. В. Е Подольского даётся определение прямо пропорциональных величин:
Две переменные величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Рассмотрим отношения 60 : 1, 120 : 2, 180 : 3. Все они равны, то есть:
Свойство переменных величин, которые находятся в прямой пропорциональной зависимости:
Если две переменные величины прямо пропорциональны, то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же, постоянному для данных величин, числу.
Не всякая зависимость между переменными является прямой пропорциональностью.
Если автомобиль увеличит скорость в 1,5 или в 2 раза, то время движения уменьшится соответственно в 1,5 или в 2 раза. И наоборот, если автомобиль уменьшит скорость в несколько раз, то во столько же раз увеличится время движения.
Авторы учебника пишут, что скорость и время движения являются обратно пропорциональными величинами или зависимость между скоростью и временем движения является обратной пропорциональностью.
Задача 674
Бригада из 15 рабочих может отремонтировать школу за 46 рабочих дней. Сколько требуется рабочих, чтобы отремонтировать эту школу за 30 дней, если производительность труда всех рабочих одинакова?
Решение:
Решить эту задачу нам поможет свойство переменных величин, которые находятся в обратно пропорциональной зависимости (§22):
Если две переменные величины обратно пропорциональны, то произведение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для данных величин числу.
В нашем случае это означает, что если количество рабочих для 30-ти дневного ремонта школы взять за X, то 15 * 46 = x * 30:
У чисел 15 и 30 наибольший общий делитель равен 15. Пользуясь основным свойством дроби (§7) мы сократили числитель 15 и знаменатель 30 на 15 и получили вместо 15 – 1, а вместо 30 – 2.
Ответ: для ремонта школы за 30 дней требуется 23 рабочих.