Думаю, многие знают классический вывод формулы суммы арифметической прогрессии. Здесь я придумал ещё один. Он более громоздок, но почему бы и нет? До конца не уверен, выводил ли кто-нибудь до меня таким способом, поэтому авторство по созданию формулы себе не присуждаю, хотя я и додумался до этого абсолютно самостоятельно.
1) Вычислим, для начала, по классике, сумму первых 100 натуральных чисел. Запишем это.
2) Из каждого слагаемого вытащу единицу. В итоге мы получим 100 единиц и сумму 99 чисел.
3) Вынесу из суммы 99 чисел также по одной единице. Получим уже 199 и сумму 98 чисел, но тут я посмею написать вместо 199 число 200, отняв предварительно 1. Получаем 200 и сумму 98 чисел. Далее рассуждения всё те же. Вынесу из суммы 98 чисел снова по единице. Получаю 298, сумму 97 чисел и - 1, но я добавлю и отниму 2. Получаю 300, сумму 97 чисел и - 1 - 2. Далее из суммы 97 чисел в очередной раз вынесу по единице. Получаю 397, сумму 96 чисел и - 1 - 2. Но тут я добавлю и отниму 3. Получаю 400, сумму 96 чисел и - 1 - 2 - 3. Видна некоторая закономерность, не правда ли? На данный момент проделано 4 такие операции, первое слагаемое = 400, второе мы превратили в сумму 100 - 4 чисел, а третье слагаемое ничто иное, как сумма 4 - 1 чисел.
4) По аналогии сразу проделаю 100 таких операций и получу 100 * 100, сумму от 100 - 100 чисел и минус сумма 100 - 1 первых чисел (Тут я минус за скобку вынес). Получил S(100) = 100 * 100 - S(99). Тут необходимо вспомнить, что S(99) = S(100) - 100 и подставить его.
5) Тут подставил вместо S(99) значение S(100) - 100
6) Далее идут простые преобразования и решение уравнения относительно неизвестной S(100). Это выражение и даёт нам известное 5050.
Далее выведем это для общего случая.
1) Записываем вид нашей суммы.
2) Из каждого слагаемого забираем a(1). Тут также необходимо вспомнить, что a(2) - a(1) = d; a(3) - a(1) = 2d и т.д. Получаем n * a1 + сумма.
3) Выношу d за скобки.
4) Разбираю отдельно сумму до n - 1 члена. Для этого воспользуемся нашим конечным выражением на первом скриншоте: вместо 100 подставим n - 1, преобразуем и получим более общую формулу.
5) Подставляю ту сумму в наше выражение. Затем привожу к общему знаменателю, выношу n за дробь как множитель, разделяю 2a(1) раздельно на два слагаемых (Специально даже выделил скобками), в скобках у нас a(n).
6) Получаем ту самую искомую формулу.