Здравствуйте, Дорогие друзья! Сегодня мы с Вами поговорим о шестой задача из билетов по профильной математике ЕГЭ. Эта задача носит название «производные и первообразные». Если кто-то не до конца понимает смысл двух этих слов, то перед прочтением данной статьи изучите эту и эту статью.
Ну что, поехали? Задача 6 и её решение.
Задача 6(1)
Материальная точка движется прямолинейно по закону
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с? Если будет получено два действительных корня, укажите больший из них.
Решение:
Итак, что нам задано? Нам задан икс, то есть закон получения координаты точки от времени её движения. Скорость – это первая производная расстояния по времени. Почему так? Смотрим:
- метры – это расстояние,
- метры в секунду – это скорость, то есть изменение расстояния в единицу времени,
- метры в секунду в квадрате – это ускорение, то есть изменение скорости в единицу времени (или же скорость изменения расстояния).
Находим первую производную выражения:
Производную нашли. Вернее даже не так: мы нашли не просто производную, а закон изменения расстояния от времени, то есть скорость. Теперь нам нужно найти значение t, при котором скорость будет равна той, которая дана в задании, то есть 2 м/с. Ищем: x’(t) –функция скорости, а 2 м/с – её значение:
Отлично, с этой задачей покончили, идём дальше. Ни за что не угадаете номер следующей задачи. Точно: шестая.
Задача 6 (2)
На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найти значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение:
Итак, видя такую задачу впервые человек не понимает даже её условия: ну дана нам кривая, к ней построили касательную, и каким-то образом надо найти значение производной в точке х0. Как это сделать, ведь нам даже функция кривой не задана? Вспоминаем, что такое производная. Производная – это скорость изменения функции. Касательная проведена через точку, которая, лежит на изгибе функции. Как может показаться на первый взгляд, в этой точке находится экстремум (а точнее локальный минимум функции, что меня настораживает, почему – скажу позже). Итак, у нас есть касательная к кривой, функции которой мы не знаем. По законам математики производную можно найти как тангенс угла касательной к оси абсцисс. Звучит легко и просто. Но откуда взялся такой закон? Давайте разбираться.
Я снёс касательную к оси абсцисс и показал угол между ними. Изменение функции – это её приращение по игреку. Ага. Оглянувшись на прошлую задачку всё становится понятным. Не так ли? Игрек (расстояние) изменяется с изменением икса (времени), то есть производная для игрека – это приращение по игреку разделить на приращение по иксу (а это уже скорость). Вот как бы и угол сам нам не нужен для решения. Мы видим, что по игреку функция поднялась на две клетки, а по иксу прирастила восемь клеток. Тангенс – это отношение противолежащей углу стороны к прилежащей:
Готово. Задача решена. А вот теперь и то, что мне не понравилось в этой задаче: мы можем принять точку x0 за экстремум функции, а насколько мы помним, производная в такой точке равна нулю. Здесь нужно быть внимательным и не сглупить: если бы точка действительно была экстремальной, то касательная была бы параллельна оси иксов, поэтому не сомневаемся и записываем ответ: 0,25.
Что-ж, рассмотрим ещё одну задачку.
Задача 6 (3)
Эту задачу я взял из билетов и немного усложнил.
Решение:
Итак, как решить такую задачу? Сначала нам нужно найти функцию кривой. У нас есть первообразная функции, а значит функция – это производная этой первообразной. Ищем производную:
Формула очень напоминает квадрат разности, но чтобы получилась эта формула, нужна девятка в квадрате. Введем её, но не забываем компенсировать введенную величину, то есть в скобках мы добавим 81, а за скобкой мы должны вычесть это число, умноженное на стоящую за скобкой (-3):
А теперь магия: девятка в скобках – это константа, то есть она указывает сдвиг по координате, но не оказывает влияния на площадь фигуры, поэтому мы можем «изгнать» это число из нашего выражения:
Эта функция справедлива для обеих кривых, только одна из фигур сдвинута по иксу относительно другой на единицу. А значит, если зеленую фигурку разделить ровно пополам, то есть построить высоту, то одна сторона зеленой фигуры будет симметрична другой. То есть для того, чтобы решить задачу, нам нужно всего лишь найти «кусочек» площади одной из фигур и умножить его на два. Ищем эту площадь: мысленно переносим фигуры в начало координат, так, чтобы они лежали от -2 до 1 по иксу:
Готово. Записываем ответ: 1,25. Врядли Вам в билете попадется такая сложная задачка, но я считаю, что учиться нужно на усложненном, а не на самом простом. Надеюсь, всё было понятно.
На этом, пожалуй, закончим с рассмотрением шестой задачи. Надеюсь, что эта статья была полезна Вам, если это так, то подпишитесь на мой канал и порекомендуйте его своим друзьям, а если Вы уже подписаны, поставьте лайк – я буду знать, что тружусь не зря. Спасибо, что читаете! Успехов в труде и учебе!
