Здравствуйте, Дорогие друзья! В этой статье мы продолжаем подготовку к ЕГЭ по математике профилю. И сегодня мы рассмотрим третью задачу. Она носит название «Планиметрия». В ней нам необходимо показать, насколько хорошо мы умеем обращаться с углами. Переходим к делу.
Задача 3(1)
В треугольнике АВС (дальше фантазия не шагнет никогда) угол С равен 90 градусов, АС=10 см, tg A=0,5. Найти длину ВС.
Решение:
Итак, у нас классический прямоугольный треугольник. Все необходимые величины нам известны, поэтому решаем. Первым делом вспоминаем что такое тангенс. Тангенс – это отношение катета, противолежащего углу к прилежащему. В нашем случае tgА=ВС/АС. Больше для решения этой задачи нам знать ничего не надо:
tgA=BC/AC => BC=tgA*AC=10*0.5=5 см
Записываем ответ. Ответ: ВС=5 см.
Теперь давайте немного изменим условия этой задачи:
Задача 3(2)
В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, BC=5 см, sinA=0,5. Найти длину AВ.
Решение:
Теперь у нас не тангенс, а синус, ну и длины катетов другие. Решаем. Вспоминаем, что такое синус. Синус – отношение катета, противолежащего углу к гипотенузе. Для нашей задачи sinA=BC/AB. Тоже ничего сложного:
sinA=BC/AB => AB=BC/sinA=5/0,5=10 см
Записываем ответ: АВ=10 см.
Ну и на косинус рассмотрим, конечно:
Задача 3(3)
В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, AC=5 см, cosA=0,5. Найти длину AВ.
Решение:
Вспоминаем, что такое косинус: косинус – отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. Для нашего случая cosA=AC/AB.
cosA=AC/AB => AB=AC/cosA=5/0,5=10 см
Ответ: АВ=10 см.
Как видите, задачи очень лёгкие, главное помнить:
Синус – отношение противолежащего углу катета к гипотенузе;
Косинус – отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе;
Тангенс – отношение синуса к косинусу, то есть противолежащий катет делится на прилежащий.
С прямоугольными треугольниками разобрались, повышаем ставки: переходим к равнобедренным треугольникам.
Задача 3 (4)
Решение: Равнобедренный треугольник – это треугольник, который по сути состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. Именно так его и надо рассматривать. По заданию sinA=1/2. Из прошлой задачи помним, что такое синус, для конкретной задачи – это sinA=CH/AC. Решаем задачу по принципу минимума действий:
1. находим косинус угла А:
2. Находим длину АB:
Записываем ответ: АВ=12 см.
Из этой задачи Вам следует запомнить только основное тригонометрическое тождество: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла равна единице.
Разберем – ка теперь что-нибудь с окружностью. Я заглянул на сайты подготовки к ЕГЭ, и больше всего мне понравилась такая задача:
Задача 3 (5)
Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.
Решение: такая задача решается просто, с применением свойств вписанной окружности. Давайте разберемся, что это за свойства: из рисунка мы видим, что площадь многоугольника – это площадь круга плюс «еще немного». Построим точки, в которых окружность будет соприкасаться со сторонами многоугольника:
Всё правильно: радиус перпендикулярен стороне, с которой он соприкасается. Назовём центр окружности О и разделим фигуру на прямоугольные треугольники:
Готово. Теперь опишем площадь всей фигуры, как сумму площадей полученных треугольников:
Теперь объединяем прямоугольные треугольники в обычные, так, чтобы каждое ребро многоугольника стало основанием такого треугольника:
То есть мы получили следующую формулу:
Отлично. Осталось только связать радиус окружности и периметр многоугольника с его площадью. Как ищется площадь треугольника? Половина площади основания умножается на высоту. В качестве высоты у нас во всех треугольниках – радиусы вписанной окружности, а основания треугольников образуют контур многоугольника, то есть сумма длин оснований треугольников – это периметр многоугольника, а значит площадь многоугольника будет равна половине произведения периметра многоугольника на радиус вписанной окружности. И это действительно так. Для конкретно нашей задачи S=1/2*r*P=1/2*20*3=30.
Ответ: S=30.
Я же говорил: решается просто. Главное понять и запомнить принцип решения.
На этом, Дорогие друзья, пожалуй нашу статью закончим. Сегодня мы рассмотрели третью (а вернее третьИ) задачу по профильной математике. Надеюсь, было интересно (а самое главное всё было понятно). Если моя статья была Вам полезна, порекомендуйте её своим друзьям, может и им она пригодится. Ну что-ж, удачи в труде и учебе! Жду в гости на моем канале!