В прямоугольном треугольнике ABC точка D лежит на катете AC, а точка F – на продолжении катета BC за точку C, причем CD = BC и CF = AC. Отрезки CM и CN – высоты треугольников ABC и FCD соответственно.
а) Докажите, что CM и CN перпендикулярны.
б) Прямые AF и BD пересекаются в точке K. Найдите DK, если BC = 3, AC = 9.
Решение:
а) Заметим, что ∆BCA=∆CFD по двум катетам (т.к. BC=CD, AC=CF, ∠BCA=∠DCF=90°) ⇒ ∠CBA=∠CDF.
Пусть ∠CBA=∠CDF=x°, тогда ∠BCM=90°-x°, ∠MCA=x°, ∠DCN=90°-x°.
Найдем ∠MCN = ∠MCA + ∠DCN = x° + 90° – x° = 90°. Отсюда следует, что MC⟂CN.
ч.т.д.
б) Рассмотрим ∆ BCD – он равнобедренный, т.к. BC = CD (по условию).
Отсюда следует, что ∠CBD =∠CDB = (180°-∠BCD)/2 = (180°-90°)/2 = 45°.
∠BDC = ∠KDA = 45° (т.к. вертикальные углы равны).
Рассмотрим ∆ ACF – он равнобедренный, т.к. CF=AC (по условию).
Отсюда следует, что ∠CFA = ∠CAF = (180°-∠ACF)/2 = (180°-90°)/2 = 45°.
Рассмотрим ∆ AKD – он равнобедренный, т.к. ∠KDA = ∠KAD = 45°.
AD = AC – CD = 9 – 3 = 6.
Тогда DK = AD∙cos45°=6√2/2=3√2.
Ответ: б) 3√2
