Здравствуйте, Дорогие друзья! В этой статье мы с Вами поговорим об еще одном способе расчета электрических цепей. И называется этот метод методом узловых потенциалов. Почему такое название? Сейчас разберемся. Давайте возьмём для примера ту же схему, что и в прошлой статье. Но немного её усложним: добавим еще один источник постоянного напряжения в цепь.
По традиции упрощаем схему. Конечно, в прошлой статье мы это сделали, но гораздо удобнее будет видеть это упрощение здесь. Не так ли?
Вы обратили внимание, что каждому узлу я присвоил название? То-то и оно. Мы разобрали цепь на веточки, соединенные узлами. Эти узлы и будут ключевым элементом при расчетах заданным методом. Один из узлов мы назначаем нулевым, то есть заземляем его (его потенциал будет равен нулю). Относительно него мы и будем проводить вычисления. Вспоминаем из курса физики, что разность потенциалов – это не что иное, как напряжение. Пользуемся Вторым законом Кирхгофа и законом Ома. Запишем выражения для падений напряжения на ветвях цепи:
А теперь, нужно понять, почему я не упростил схему еще больше. Ведь у нас остались параллельно и последовательно включенные сопротивления. Ответ прост: нам это не нужно. Мы всё равно будем вычислять падения напряжений на резисторах и возвращаться к схеме, приведенной на рисунке 1, то есть, если провести дальнейшие упрощения, то работы у нас на порядок увеличится: придётся сначала считать сопротивление параллельно включенных резисторов, затем вновь возвращаться к исходным значениям и искать ток через эти резисторы.
Итак, мы расписали падения напряжений на ветвях цепи. Теперь выразим из этих выражений токи:
На первый взгляд кажется, что у нас для расчета недостаточно данных. Но это не так: у нас есть значения всех сопротивлений, значения напряжений двух источников и один узел, который мы условно занулили. Составим систему уравнений, в которой отразим зависимость токов от узловых потенциалов.
По традиции выражаем все величины через самую «крайнюю» из них: через ток I7.
А теперь вспоминаем Первый закон Кирхгофа. Ведь мы установили зависимость между токами, руководствуясь только наличием в выражении общих узловых потенциалов.
Наша задача теперь состоит в том, чтобы свести все имеющиеся уравнения к одной неизвестной. В качестве этой неизвестной наиболее разумно выбрать, как я уже говорил, самый маленький ток, протекающий в цепи, ток I7. С учетом установленных ранее соотношений величин токов, можем записать:
Очевидно, мы зашли в тупик? Ведь остальные токи через I7 выразить на данный момент невозможно… Это не совсем так. Не стоит забывать про узловые потенциалы. Ведь не зря мы выражали токи через них. Выражаем значение узлового потенциала фи5 через ток I5:
Находим узловой потенциал фи4, выраженный через ток I5:
Подставляем в (5) найденное в (4) значение тока I5:
Теперь вновь обращаемся к составленным ранее выражениям и выражаем через ток I7 узловой потенциал фи3. Это нам нужно сделать, чтобы выразить через I7 токи в ветвях фи1 – фи3 и фи3 – фи0, то есть токи I3 и I4. Итак:
Выражаем через ток I7 значение узлового потенциала фи2:
Продолжаем двигаться по схеме справа-налево: выражаем через ток I7 значение узлового потенциала фи1:
Выражаем токи I1 и I2 через I7 (Сначала выразим ток I1 через ток I2).
Ну чтож, токи в цепи выразили. Теперь нам необходимо найти значение самого маленького тока, через которое выражены все остальные токи. Для этого мы НЕ используем систему уравнений (1), так как при любом вычислении мы получим равенство I7=I7. Только что мы выразили значения узловых потенциалов фи1 и фи2. И в этих значениях также содержится ток I7, ими мы и воспользуемся. Почему мы будем использовать именно выраженные значения узловых потенциалов и почему они при решении подобно системе уравнений (1) не дадут озвученное ранее равенство I7=I7. Всё очень просто: все уравнения системы (1) были использованы для выражения всех величин через ток I7, но токи I1 и I2 выражались через Первый закон Кирхгофа, а значит с системой уравнений (1) эти величины связаны не обозначениями токов, а их численными значениями. Но, меньше слов, больше дела: находим значение тока I7:
Ну а теперь можете и сами посчитать находим значения всех токов, которые протекают в цепи:
БОльшая часть работы сделана. Нам остаётся только воспользоваться законом Ома и найти падения напряжений на сопротивлениях (на всех):
Теперь нужно проверить, правильно ли мы всё посчитали. Для этого я составил нашу схему в Microcap и провёл симуляцию её работы. О программе Microcap и других полезных ПО мы с Вами поговорим. А пока что, попрошу внимания: результат:
Как Вы можете видеть, вычисленные токи практически совпадают с фактическими. Почему здесь существуют погрешности? Дело в том, что при проведении вычислений некоторые величины округлялись до сотых или до тысячных после запятой. В конечном счете эти округления (или как правильно говорить допуски) привели к тому, что результат расчетов немного отличается от значений, полученных в ходе симуляции. Однако, эти различия незначительны и расчет можно считать проведенным верно. Теперь запишем алгоритм, по которому мы действовали:
Таким образом, в этой статье мы с Вами ознакомились с основными аспектами расчета электрических цепей методом узловых потенциалов. Я постарался рассказать всё более-менее понятными словами. Надеюсь, было очень интересно и не очень утомительно наблюдать бесконечные вычисления. Если эта статья была Вам полезна, поделитесь ею с друзьями, вдруг и им она пригодится, а если не трудно, то поставьте «палец вверх», так я пойму, что не зря трудился над ней. Также, если Вы еще не подписаны на мой канал, срочно исправьте это, ведь впереди будет ещё очень много всего интересного. Спасибо, что читаете! Удачи!
