Ask after означает интересоваться новостями, а особенно часто состоянием здоровья. Например, Tell your sister I was asking after her.
Ask out мы употребляем, когда речь заходит об отношениях и симпатии. Данный фразовый глагол можно перевести как пригласить на свидание.
Ask around точно войдёт в обиход хитрецов! Перевод следующий: разузнать, разведать, расспросить. Например, I can ask around for more information.
Ask back — очень хороший глагол, который точно пригодиться. Он означает пригласить кого-либо к себе домой, а так же пригласить на следующим этап собеседования. Вот пример из Словаря Кэмбридж: I made a mess of the interview and I wasn't asked back.
Ask in означает пригласить войти внутрь. Пример: I'd ask you in for a coffee but I have to get up early for work in the morning.
Вот ты стал снова чуточку умнее, бро. Прокачивай свой английский вместе со мной!