Почему в одной ситуации вероятности складываются, в другой - умножаются, а в третьей - вообще всё сложнее ?
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В одном из прошлых материалов, где я рассказывал про доску Гальтона - механическое устройство, которое визуализирует биномиальное распределение, я использовал три незыблемых правила манипулирования вероятностью. В этом материале хотелось бы поговорить об этом подробнее. Поехали!
Что такое событие?
Согласно словарю Ожегова событие - это "то, что произошло, то или иное значительное явление, факт общественной, личной жизни". Глобально события можно разделить на два вида: детерминированные и вероятностные.
- Первые - это те события, исход которых можно предсказать и описать до факта его совершения. Например, если Вы бросите камень с 9-го этажа, то можете быть уверены, что он упадёт на Землю.
- Вторые - это те, которые даже при одинаковых начальных условиях могут привести к неожиданному или случайному исходу. Классическим примером случайного события является бросок монеты: до того, как монета не упадет, мы можем только предполагать, какой стороной она окажется к верху.
Однако и во втором случае есть место детерминированности. Мы на 100% уверены, что событий может быть только два: "Орёл" или "Решка".
События "Орёл" и "Решка" образуют т.н. называемую полную группу событий. Математически это можно записать следующим образом:
Есть еще много различных классификаций "событий", но я позволю остановиться на этом
Несовместные события
Что еще нужно сказать о событиях "Орёл" и "Решка" ? Самое главное - это то, что появление одного из них исключает выпадение другого. В теории вероятностей такие события принято называть несовместными, а в случае двух исходов, как в нашем случае, - противоположными.
Для несовместных событий действует теорема о сложении вероятностей:
- Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
В случае с подбрасыванием монетки это звучит так: вероятность получить или "Орёл" или "Решку" равно сумме вероятностей каждого исхода. Здесь ключевую роль играет союз "ИЛИ", ведь именно он вербально задаёт несовместимость событий.
Независимые события
Казалось бы, следует перейти к понятию совместного события, однако логика требует иначе. Давайте представим, что мы параллельно подбрасываем две монеты. Зависит ли исход каждого испытания друг от друга?
Да, можно пытаться хитрить, но природу не обманешь....
Очевидно, что нет. Таким образом два события называются независимыми, если появление одного из них, не изменяет вероятность появления другого.
Правило вычисления вероятности независимых событий называется теоремой об умножении вероятностей:
Здесь уже главенствует союз "И" : вероятность наступления и того, и другого события равно произведению вероятностей наступления каждого из них по отдельности (независимые события!).
На конкретном примере вероятность выпадения двух "Орлов" или двух "Решек" при одновременном подбрасывании двух монет равняется 1/2*1/2 = 1/4.
Совместные события
Продолжим подбрасывать параллельно две монеты и попытаемся ответить на вопрос, а чему равна вероятность выпадения хотя бы одного "Орла" или "Решки" ?
- Очевидно, что, если складывать вероятности, то получим 1/2+1/2 = 1, что противоречит здравому смыслу. Ведь легко представить ситуацию, когда мы загадаем "Орла", а две монеты выпадут "Решкой".
- Умножение вероятностей так же не работает, ведь мы ищем вероятность хотя бы одного, а не одновременного выполнения событий.
Ответ: совместить два подхода и использовать формулу:
Таким образом, вероятность равняется 1/2+1/2 - 1/2*1/2 = 3/4.
События такого вида называются совместными - возникновение каждого из них не исключает возникновение другого. Естественно, что указанная выше формула распространяется и на произвольное количество событий, разве что будет немного посложнее.
Осталось рассмотреть еще один важный класс событий - зависимые, но это я сделаю в одном из следующих материалов. Спасибо за внимание!
- Много интересного - в телеграм "Математика не для всех"
- Взгляд на философию со стороны технаря - телеграм "Философия не для всех"