Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать о демонстрационном устройстве, придуманном Фрэнсисом Гальтоном - знаменитым английским исследователем, географом, антропологом и, конечно, математиком, в чьи интересы по большей части входила статистика.
Ну еще, между словом, отцом евгеники - учении о борьбе с вырождением человеческого генофонда, а также одним из первых исследователей отпечатков пальцев.
Доска Гальтона - это устройство, которое наглядно показывает, наверное, действие самой важной теоремы теории вероятностей - классической центральной предельной теоремы. Давайте разберемся подробнее.
Устройство доски Гальтона (квинкункса)
Доска состоит из набора препятствий (штырьков, шестигранных призм), от которых мелкие объекты (небольшие мячи, зерно, пули, дробь), брошенные сверху, могут отскочить влево или вправо.
В таких случаях говорят о реализации схемы Бернулли - серии опытов, где может произойти одно из двух заранее определенных событий, причем вероятность возникновения которых одинакова. В данном случае речь идет о том или ином отклонении шарика:
На каждом из препятствий происходит всё новое и новое испытание по схеме Бернулли:
Объяснение чисел на картинке очень простое: на первом препятствии вероятность пойти влево у шарика равняется 1/2. Упав влево, шарик попадает на следующее препятствие, где влево уйдет также с вероятностью 1/2. По теореме об умножении вероятности зависимых событий получаем итоговое: 1/2*1/2 = 1/4.
Вероятность же пойти вправо на втором препятствии у шарика также равна 1/2. С другой стороны, шарик может прийти в эту точку и другим путем: на первом шаге прыгнув вправо, а на втором влево. Тогда по теореме о сложении вероятностей несовместных событий она равна 1/2*1/2 + 1*2*1/2 = 1/2.
В дальнейшем указанные вероятности можно рассчитать для каждого возможного положения шарика, однако уже из первых 3-4 ходов становится ясно, что бОльшие вероятности сосредоточены в центре доски Гальтона.
Построенное распределение вероятностей появления шариков в тех или иных местах называется биномиальным, т.к. показанные числа - это обратные коэффициенты в разложении бинома Ньютона, которые очень удобно представить в виде треугольника Паскаля:
Симметричное построение (а еще, конечно, вертикальное положение) доски Гальтона обеспечивает удивительное: при достаточно небольшом количестве рядов препятствий (уже примерно при 10) биномиальное распределение в соответствии с центральной предельной теоремой становится (аппроксимируется) нормальным гауссовским колоколом:
В окружающем нас мире часто встречаются величины, распределенные нормально. По сути - это все величины, вклад в которые вносит большое количество слабозависящих друг от друга случайных слагаемых. Классическим примером нормального распределения может являться, например, средний рост людей на планете, средний IQ и т.д.
Цифры цифрами, но доска Гальтона продолжает оставаться лучшей натурной моделью нормального распределения. Спасибо за внимание!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, чтобы не пропустить следующие публикации.