Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Воистину, числа Фибоначчи - невероятно широкая и, вместе с тем, красивая тема, которая таит много неизвестного. Но не для науки, а скорее для нас, вольных любителей математики.
В одном из прошлых материалов, например, методами линейной алгебры я выводил формулу, которая вычисляет конкретный элемент этой последовательности в явном виде. Вот она:
Красивая формула, ничего не скажешь. Однако сегодня я покажу Вам удивительное описание чисел Фибоначчи, которые Вы никогда не видели до этого (если, конечно, не интересовались диофантовыми множествами).
Оказывается, что все положительные значения этого простого многочлена пятой степени от двух переменных совпадают со множеством чисел Фибоначчи!
Как это вообще работает? Небольшое отступление
Современная теория чисел - очень сложная и запутанная наука. Один из её разделов изучает т.н. диофантовы множества - множества тех значений параметров, при которых диофантово уравнение разрешимо относительно неизвестных. Например:
В данном случае, при значении параметра а=0, мы получаем разрешимое уравнение, при целочисленных a>1 мы получаем т.н. уравнение Пелля, которое так же имеет бесконечное число решений.
Если рассмотреть все значения параметра а для такой левой части, а затем выписать те из них, при которых уравнение разрешимо в целых числах, мы получим диофантово множество этого уравнения.
Частный случай простого уравнения - это всего лишь цветочки! Оказалось, и это доказал советский математик Матиясевич, что любое множество, порождаемое алгоритмом (перечислимое), является диофантовым.
Например, это касается вопроса доказуемости той или иной теоремы в любой формальной системе, например в геометрии, арифметике, анализе, топологии и т.д.. Удивительно, но этот сложный и разнообразный мыслительный процесс может сводится к задаче разрешимости в целых числах соответствующего диофантова уравнения!
Воистину, как говорил Гаусс "Математика - царица наук, а теория чисел - царица математики"
Числа Фибоначчи = диофантово множество
Понятно, что множество чисел Фибоначчи определяется простейшим алгоритмом:
Тогда по теореме Матиясевича существует диофантово множество, ему соответствующее. Таким как раз и является множество неотрицательных значений многочлена пятой степени от двух переменных, приведенного в начале материала.
Давайте подставим в него целые числа и посмотрим, что происходит:
Т.е., если подставлять пару чисел, которые являются соседями в последовательности Фибоначчи, многочлен будет выдавать старшее из них.
Понятно, что здесь мы де-факто определяем числа Фибоначчи через них самих, но самое-то удивительно кроется в том, что ВСЕ остальные целочисленные пары, будучи подставленными в многочлен, дадут отрицательные величины:
Многочлен Джоунса как бы "выпрыгивает" на поверхность в строго определенных точках, и эта красота не может завораживать!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, чтобы не пропустить следующие публикации.