Приветствую Вас!
Разберем разные задачи на вписанные окружности. Рассмотрим методы их решения. Как всегда будет несколько полезных формул и упрощенных решений, без лишних головняков.
Начнем с того, что попроще:
Здесь используется чудесная формула S=pr, где р-полупериметр. А хороша эта формула тем, что подходит абсолютно для любого многоугольника, в который можно вписать окружность.
Теперь такая задачка:
Ну, здесь можно двигать в том же направлении, и воспользоваться этой же формулой, выразив из нее радиус, т.е r=S/p. Но, здесь корни, и, вычисления будут замороченные. Хотя.. Кто-то не ищет легких путей. Тому удачи!
Предлагаю здесь поступить немного иначе и воспользоваться формулой, которая работает в прямоугольном треугольнике, плюс обратить внимание на то, что он равнобедренный.
Сама формула выглядит так: r=(a+b-c)/2, где a, b - катеты, с- гипотенуза. Ну, катеты нам известны. Нужна гипотенуза. Опять же, для любителей сложных путей, ее можно найти по теореме Пифагора.
А для тех, кто любит попроще, предлагаю обратить внимание на то, что гипотенуза будет являться диагональю квадрата, если треугольник мысленно, либо с помощью пунктира, до него дополнить.
И, как известно, некоторым слоям населения, диагональ квадрата - это произведение его стороны на корень из двух, т.е d=a*sqr2.
Кстати, на заметку: диагональ куба - это произведение стороны на корень из трех. Также очень полезно знать.
Теперь все, что я вам тут рассказала, нарисую и запишу:
Продолжаем разговор:
Что нужно знать здесь? А то, что если в четырехугольник (любой) можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны. Это крайне важная информация(!), но, думаю, вы все об этом знаете. Поэтому среднюю линию отыщем без проблем:
Так как боковые стороны в сумме дают 8, то и основания дадут в сумме 8, а средняя линия - это полусумма оснований, т.е 4. Фу, как все легко и просто, аж тошнит.
Давайте усложним задачку:
Есть, конечно, формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник, но она не очень удобна для запоминания, плюс еще каким-то волшебным образом нужно будет отыскать сторону треугольника, поэтому предлагаю поступить по другому, тем более что здесь будет содержаться еще полезная информация.
А именно: сначала подметим, что высота будет являться так же и медианой, ведь он равносторонний. Центр данной окружности лежит в точке пересечения либо высот, либо медиан, либо биссектрис. Нам здесь интересны медианы, т.к они точкой пересечения делятся в отношении 2:1.
Соответственно, радиус, в данном случае - 1/3 от высоты, то бишь 2. А вот и формула вышла для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник через высоту: r=h/3 - ха! - проще пареной репы.
Усложнимся еще:
Начертим эту историю и отметим все получившиеся точки. Нам понадобится почти вся латиница):
Всем, конечно, известно, что касательные, выпущенные из одной точки к окружности равны. Т.е что получается: AM=AN, BM=BK, CK=CN. Если присмотреться, то из точек R, S, D, O, L, Q также выпущены касательные, следовательно, они также попарно равны.
Рассмотрим для наглядности один треугольник. У остальных двух произойдет то же самое. Возьмем верхний - BOL.Т.к ОЕ=ОМ И EL=LK, то сторона OL этого треугольника является частью касательных ВМ и ВК.
Известны периметры отсеченных треугольников. Из вышесказанного понимаем, что в данном случае периметр каждого - не что иное, как сумма больших касательных.
Т.е Р(BOL)=BM+BK. В оставшихся двух - такая же история. Следовательно, периметр АВС=6+8+10=24. Мат! Обожаю математику. В натуре, ЦАРИЦА! Простенько и со вкусом.
Ну, и добьем всю эту тему шестиугольничком. Как без него?
Сделаем фрагмент чертежа. Весь он нам не понадобится.
Шестиугольник - очень крутая фигура. У него там всё равно, куда не попади: разбивается на шесть равносторонних треугольников, со всеми вытекающими, сторона его равна радиусу описанной окружности. Красота, в общем.
Здесь масса способов решения. Предлагаю короткий, тем более, что он полезен для решения других задач. Давайте ввернем тригонометрию. Ведь, если в прямоугольном треугольнике известен угол и хоть одна какая-то сторона, то всегда можно найти все остальные стороны.
Это применимо повсеместно, в любых фигурах, где опускаются высоты, образуя таким образом прямоугольные треугольнике. Поэтому, обратите внимание на данное решение.
Вернемся к задаче. Нам известен радиус, т.е ОН. Как уже было сказано выше - тр.АОВ - равносторонний, следовательно, угол АОН=30. Т.к нам требуется найти сторону, значит, нужно найти АН и после удвоить ее.
АН и ОН являются катетами, а, значит, их завязывает тангенс. Составим буквенное выражение для тангенса по его определению: tgAOH=AH/OH
Теперь подставим цифры, зная, что tg30=sqr3/3. Выходит так:
sqr3/3=AH/sqr3, отсюда АН=1. Следовательно, АВ=2.
Благодарю за внимание..