Доброго времени суток.
Ранее под номерном 13 в профильном ЕГЭ по математике таились уравнения. Теперь их место заняла стереометрическая задача. Рассмотрим её на примере конкретного задания и далее будем постепенно разбирать все остальные возможные варианты.
Задача.
Радиус основания конуса с вершиной S равен 8, а высота конуса SO равна √88. Точка М - середина образующей SA конуса, а точки B и N лежат в плоскости основания конуса так, что отрезок SB - образующая конуса, а прямая MN параллельна SB.
а) Докажите, что прямая АВ перпендикулярна плоскости SON.
б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью основания конуса, если АВ = 10.
Если Вы действительно планируете сдавать профильное ЕГЭ по математике, попробуйте вначале самостоятельно решить данную задачу или хотя бы нарисуйте рисунок, а уже потом переходите к изучению готового, представленного тут решения.
А я пока это решение тут изображу.
Для начала нам необходимо нарисовать рисунок:
На рисунке мы схематично изображаем конус, и всё, что необходимо для решения части а) нашей задачи. А именно: центр основания конуса О, высоту конуса SO, две образующие SA и SB, прямую АВ, точку М - середину образующей SA, прямую MN параллельную SB.
Обязательно добавляем "Дано", " Доказать" и "Найти", чтобы сразу приучать себя к грамотному оформлению, а не переучиваться в панике на самом ЕГЭ:
Также старайтесь, чтобы Ваш почерк был максимально читабельным.
А теперь приступим к решению части а).
а) Доказательство.
1) MN || SB (по условию), тогда S, B, M, N лежат в одной плоскости, значит N ⋲ ASB, т.е. N ⋲ AB.
2) M ⋲ SA и SM = MA (по условию) и MN || SB (по условию), тогда MN - средняя линия ∆ ASB, т.е. AN = NB. Значит SN - медиана р/б ∆ SAB, и поэтому SN ⊥ AB.
3) SO ⊥ AB (как высота конуса); SN и SO ⋲ SON и SN ∩ SO.
4) Из пунктов 2) и 3) Доказательства, по первому признаку перпендикулярности прямой и плоскости AB ⊥ SON.
Что и требовалось доказать.
Как видите, доказательство довольно простое. Если у Вас возникли вопросы к доказательству или к оформлению, пишите в комментариях. Я обязательно отвечу всем. А пока, приступим к решению части б).
б) Решение.
Ко второй части зачастую требуется отдельный рисунок:
Как Вы видите, рисунок отличается от первого.
1) Пусть P - проекция точки М на отрезок АО.
SO ⊥AO и MP ⊥ AO тогда SO || MP и, так как SO ⊥ плоскости основания конуса, то МР ⊥ плоскости основания конуса. И тогда ∠(ВМ; основание конуса) = ∠МВР.
2) Вычислим tg∠МВР = МР/ВР.
Нам потребуется дополнительный рисунок для наглядности:
Рассмотрим ∆ASO.
М - середина AS, тогда МР - средняя линия ∆ASO, тогда МР = SO/2 = √88/2 = √22.
Применим теорему косинусов для ∆AOB и ∆POB относительно ∠О (смотри новый рисунок):
(OP² + OB² - PB²)/(2×OP×OB) = (OA² + OB² - AB²)/(2×OA×OB)
(4² + 8² - PB²)/4 = (8² + 8² - 10 ²)/8
2 × (16 + 64 - PB²) = 64 + 64 - 100
80 - PB² = 64 -50
PB² = 80 - 14
PB² = 66
PB = √66
Итак, tg∠MBP = MP/BP = √22/√66 = 1/√3, значит, ∠МВР = 30º.
И наш ответ:
Ответ: ∠МВР = 30º.
Задача решена.
Подписывайтесь на канал, пишите комментарии и ставьте лайки.