Здравствуйте, дорогие читатели! Ранее, я публиковала на своем канале статью, которая вызвала бурное обсуждение и спровоцировала много споров в комментариях. Это была публикация с разбором задачи, предлагаемой для решения абитуриентам МГУ. Многие, почему-то, вообще усомнились, что эта задача действительно была предложена поступающим. Однако, факт остается фактом.
Сегодня, мы продолжим разбор задач из того билета. И посмотрим, как решается вторая из них. Чтобы избежать необоснованных обвинений в моей нечестности, публикую вариант из МГУ целиком:
Если есть желание, можете перейти на сайт приемной комиссии МГУ и убедиться, что эти задания действительно давались при поступлении в 2020-м году.
Как видите, в билете целых 7 задач. И та, которую я разобрала ранее, самая первая из них, а, следовательно, самая легкая. Поэтому, не стоит беспокоиться о том, что нынешние выпускники школ очень глупы.
Предлагаю двигаться по порядку и теперь разобрать вторую задачу. Конечно, она тоже легкая, но уже значительно интересней первой. Для удобства, я выпишу ее отдельно:
Так как на моем канале собралось довольно много людей, увлекающихся математикой, то многие, наверняка, смогут решить эту задачу самостоятельно. Возможно, что Ваше решение окажется более простым, чем то, которое нашла я. Если это так - то обязательно делитесь своим способом в комментариях.
Решение
Итак, преступим к решению. На первом шаге, определимся, сколько натуральных чисел, не превосходящих 105, делятся на 3. Выпишем несколько из таких чисел в порядке возрастания:
Очевидно, что в ряду натуральных чисел, на тройку делится каждое третье число. Следовательно, мы можем найти количество этих чисел:
Также, заметим, что сами эти числа образуют арифметическую прогрессию, шаг которой равен трем. Тогда, мы легко найдем сумму первых 35-ти членов этой прогрессии. Отмечу, что последний член этой прогрессии, не превосходящий 105, это само число 105, так как оно делится на 3. Получим:
Но, в эту сумму вошли также и те числа, которые помимо тройки делятся еще и на 5. Заметим, что, чтобы отобрать числа, которые делятся только на 3 и не делятся на 5, нам нужно исключить из выбранных ранее чисел те, которые делятся на 15.
Аналогичным образом, считаем сумму чисел, которые делятся на 15. Посчитаем их количество. Очевидно, что на 15 делится каждое пятнадцатое число натурального ряда. Тогда, всего, таких чисел, не превосходящих 105:
При чем, наибольшее из них - 105. По формуле суммы арифметической прогрессии, посчитаем их сумму:
Нам остается сделать последний шаг - отнять из первой суммы вторую:
Это число и является ответом на вопрос задачи.
Если Вам понравилась статья, то обязательно ставьте лайки и комментируйте ее. Это поспособствует тому, чтобы ее увидело много людей!
Ниже - ссылочка на статью с разбором первой задачи из билета:
Задание для абитуриентов из реального билета МГУ, которое решается элементарно
