Здравствуйте, дорогие читатели! В этой статье, мы рассмотрим решение несколько заковыристого неравенства. Наверное, некоторым из моих читателей, оно может показаться довольно легким. Однако, на мой взгляд, это не умаляет его красоты!
На картинке Вы можете увидеть неравенство, которому посвящена сегодняшняя статья:
Вы находитесь на канале Trifler, где я разбираю интересные математические задачи, а также рассуждаю на некоторые околоматематические темы. Если Вы искренне увлечены математикой, но еще не подписаны на этот канал, то самое время это исправить! Подписаться
Прежде чем посмотреть решение, попробуйте добраться до ответа самостоятельно (правильный ответ - в конце статьи). И, если после прочтения статьи, Вы заметите, что Ваше решение лучше или интереснее того, которое будет приведено мной, обязательно делитесь им в комментариях!
Решение
Я рассмотрю традиционный способ решения таких неравенств. Поэтому, сперва разберемся с модулем. Чтобы его корректно обработать, нам нужно рассмотреть два случая: х - неотрицательное число и x - отрицательное число.
1. Пусть x - неотрицательное число
Тогда модуль неотрицательного числа равен самому этому числу. Неравенство, в этом случае, примет вид:
Чтобы найти ОДЗ (о котором, кстати, было много разговоров под многими моими статьями. Ссылки на некоторые из них оставлю внизу статьи) преобразуем знаменатель. Заметим, что там записано ни что иное как квадрат суммы. Свернем его:
И теперь уже можем записать любимое мной ОДЗ. Но, на всякий случай напомню, что это за зверь:
ОДЗ - область допустимых значений. Т.е. совокупность таких значений переменной, при которых выражение имеет смысл.
В нашем случае, очевидно, знаменатель не может равняться нулю. Это и пойдет в ОДЗ:
Теперь, разобравшись со знаменателем, перейдем к числителю. Приравниваем его к нулю и находим корни получившегося квадратного уравнения:
Оба корня нам походят - они не отрицательные и не равны пяти. Перейдем к методу интервалов: нанесем на числовую ось нули числителя и знаменателя. Заметим, что все точки выколотые. У числителя - т.к. неравенство строгое. У знаменателя - потому что он в нуль обращаться не может.
Возьмем значения из каждого получившегося промежутка, посчитаем значение левой части неравенства и расставим знаки:
Нам нужны отрезки, на которых выражение принимает отрицательные значения. Значит, для первого случая, получаем:
Переходим ко второму случаю.
2. Пусть x - отрицательное число
Тогда, раскрывая модуль, нам нужно поставить знак минус. Выражение, в этом случае, будет иметь такой вид (сразу учтем, что знаменатель мы уже преобразовывали):
ОДЗ мы уже писали ранее. Но, для этого случая его и вовсе записывать не приходится, т.к. мы работаем в рамках того, что x - отрицательное число.
Поэтому, сразу находим нули числителя:
Оба корня отрицательные, оба нам подходят. Опять воспользуемся методом интервалов, чтобы выбрать нужные промежутки:
Выбираем промежуток, на котором стоит знак минус (это обусловлено знаком неравенства). В рамках второго случая:
Объединим оба случая и запишем ответ.
Ответ
Хоть с решением и пришлось немного повозиться, все действия были весьма просты и обычны. Однако, само неравенство мне понравилось.
Если Вам понравилась статья, то обязательно ставьте лайки и комментируйте ее. Это поспособствует тому, чтобы ее увидело много людей!
Как и обещала, привожу ссылку на статью, в комментариях под которой развернулись споры об ОДЗ:
А также на другие интересные статьи:
