Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Красивые числа, получающиеся при решении задач - путеводная звезда правильного решения. Но еще лучше, когда само условие подобрано таким образом.
Сегодня я хочу показать Вам пример из американской математической олимпиады для бакалавров им. Уильяма Лоуэлла Патнема от 1995 года, в котором идеально всё. Поехали!
Итак, необходимо найти значение выражения:
Переменную справа я уже приписал самостоятельно. Решать будем традиционным способом: заметим, что цепная дроби повторяет сама себя, а поэтому напрашивается подстановка:
Ну а дальше начинается красота! Чтобы решить полученное уравнение высших степеней, потребуется всего лишь знание формулы квадрата суммы!
Отрицательный вариант, естественно, отбрасываем, т.к. x больше нуля по условию. Второй и третий подходы аналогичны, но еще более наглядны:
Второй вариант отбрасываем, т.к. х должен быть в таком случае отрицательным. Решаем полученное квадратное уравнение, предвкушая победу, но:
Получаем два подходящих неотрицательных ответа, что никак не сходится с условием, что x - единственное число! Вот тут может показаться, что ответ двусмысленный, следовательно в решении была допущена ошибка. Однако, нет. Просто надо немного порассуждать:
Первое значение x примерно равно 2,61, а второе - 0,38. Если подставить вместо х второе значение, и вычислить его 8-ую степень, то справа получится число, близкое к 0, что никак не может быть результатом извлечения 8-ой степени из четырехзначного числа. Напротив, с первым значением, получится ответ, близкий к ожидаемому.
Таким образом, правильный ответ - первый. Спасибо за внимание!