Вы так же можете прочитать эту статью на моей стене Вконтакте: https://vk.com/wall194824155_784
Когда-то давно (в 2014-2015гг) я учился в 8 классе. Это было славное время, когда в математике цифры еще не были почти полностью вытеснены буквами. Тогда часто приходилось перемножать многозначные числа, чаще всего они были двузначными. Иногда двузначные числа необходимо было возводить в квадрат. Например, при решении квадратных уравнений с большими коэффициентами или при решении треугольников по теореме Пифагора.
Чтобы упростить себе жизнь, я занялся поиском различных способов быстрого счета. При этом уже давно существовали ставшие настоящей классикой способы умножения на 11, на 5, на 9. На 9 так даже с помощью пальцев (рук), которых, желательно, чтобы было именно 10, иначе есть риск получить результат с погрешностью.
Но всё это было не то. Для возведения в квадрат двухзначных чисел пальцев рук не хватало, и даже добавочные на ногах не спасали. Хотелось чего-то нового, универсального и рабочего хотя бы для небольшой группы чисел.о всё это было не то. Для возведения в квадрат двухзначных чисел пальцев рук не хватало, и даже добавочные на ногах не спасали. Хотелось чего-то нового, универсального и рабочего хотя бы для небольшой группы чисел.
Изучая тематическую литературу, я наткнулся на весьма симпатичный способ возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5, в книге «За страницами учебника МАТЕМАТИКИ»—Депман И.Я., Виленкин Н.Я. 1989г.
Данный способ привлек меня скоростью вычисления. Действительно, пойдя по альтернативному пути решения задачи, можно сэкономить себе время, заменяя стандартные (как учат в школе) операции над большими числами более простыми, требующими от вас лишь знания таблицы умножения. При простом умножении столбиком или в уме требуется 7 последовательных действий: 4 умножения и 3 сложения. Несомненно, кто-то, может быть, быстро считает в столбик, это зависит от способностей мозга, но для расчета данным способом приходится складывать, в лучшем случае, 3 числа, делая 2 операции сложения. Найденный же мной способ отличается феноменальной скоростью счета: всего 2 арифметических действия!
Собственно сам способ:
«А теперь займемся возведением чисел в квадрат. Пусть двузначное число кончается цифрой 5. Тогда для возведения этого числа в квадрат надо умножить цифру десятков на следующую за ней цифру, а 5 возвести в квадрат и приписать результат 25 после полученного произведения. Например, 35^2 = 1225 (так как 3*4 = 12), а 85^2=7225 (так как 8*9= 72).»
«А теперь займемся возведением чисел в квадрат. Пусть двузначное число кончается цифрой 5. Тогда для возведения этого числа в квадрат надо умножить цифру десятков на следующую за ней цифру, а 5 возвести в квадрат и приписать результат 25 после полученного произведения. Например, 35^2 = 1225 (так как 3*4 = 12), а 85^2=7225 (так как 8*9= 72).» А теперь займемся возведением чисел в квадрат. Пусть двузначное число кончается цифрой 5. Тогда для возведения этого числа в квадрат надо умножить цифру десятков на следующую за ней цифру, а 5 возвести в квадрат и приписать результат 25 после полученного произведения. Например, 35^2 = 1225 (так как 3*4 = 12), а 85^2=7225 (так как 8*9= 72).» «А теперь займемся возведением чисел в квадрат. Пусть двузначное число кончается цифрой 5. Тогда для возведения этого числа в квадрат надо умножить цифру десятков на следующую за ней цифру, а 5 возвести в квадрат и приписать результат 25 после полученного произведения. Например, 35^2 = 1225 (так как 3*4 = 12), а 85^2=7225 (так как 8*9= 72).» А теперь займемся возведением чисел в квадрат. Пусть двузначное число кончается цифрой 5. Тогда для возведения этого числа в квадрат надо умножить цифру десятков на следующую за ней цифру, а 5 возвести в квадрат и приписать результат 25 после полученного произведения. Например, 35^2 = 1225 (так как 3*4 = 12), а 85^2=7225 (так как 8*9= 72).» А теперь займемся возведением чисел в квадрат. Пусть двузначное число кончается цифрой 5. Тогда для возведения этого числа в квадрат надо умножить цифру десятков на следующую за ней цифру, а 5 возвести в квадрат и приписать результат 25 после полученного произведения. Например, 35^2 = 1225 (так как 3*4 = 12), а 85^2=7225 (так как 8*9= 72).» А теперь займемся возведением чисел в квадрат. Пусть двузначное число кончается цифрой 5. Тогда для возведения этого числа в квадрат надо умножить цифру десятков на следующую за ней цифру, а 5 возвести в квадрат и приписать результат 25 после полученного произведения. Например, 35^2 = 1225 (так как 3*4 = 12), а 85^2=7225 (так как 8*9= 72).» «А теперь займемся возведением чисел в квадрат. Пусть двузначное число кончается цифрой 5. Тогда для возведения этого числа в квадрат надо умножить цифру десятков на следующую за ней цифру, а 5 возвести в квадрат и приписать результат 25 после полученного произведения. Например, 35^2 = 1225 (так как 3*4 = 12), а 85^2=7225 (так как 8*9= 72).» А теперь займемся возведением чисел в квадрат. Пусть двузначное число кончается цифрой 5. Тогда для возведения этого числа в квадрат надо умножить цифру десятков на следующую за ней цифру, а 5 возвести в квадрат и приписать результат 25 после полученного произведения. Например, 35^2 = 1225 (так как 3*4 = 12), а 85^2=7225 (так как 8*9= 72).»
Здесь показан способ только для двузначных чисел, оканчивающихся на 5, но мне этого было мало и я решил адаптировать этот способ для абсолютно любого двузначного числа (всего их 89). десь показан способ только для двузначных чисел, оканчивающихся на 5, но мне этого было мало и я решил адаптировать этот способ для абсолютно любого двузначного числа (всего их 89).
Итак, для начала, подумал я, необходимо представить данный способ в виде алгебраического выражения, формулы, если угодно. Если X – число десятков, а Y – число единиц двузначного числа A, то:
A=10X+Y
Следуя способу, приведенному в книге, цифру десятков умножаем на следующую за ней цифру, но мы посчитаем сразу в десятках:
10X*(10X+10)
Таким образом, получим четырехзначное число. Теперь возводим число единиц в квадрат и прибавляем к первому результату:
10X*(10X+10)+Y^2
Получаем какое-то подобие квадрата числа A, назовем это мнимым квадратом и обозначим буквой B:
B=10X*(10X+10)+Y^2
Казалось бы, формула готова, и от части это так, однако данное выражение справедливо только для двузначных чисел, оканчивающихся на 5, а это только 9 вариантов из 89 — чуть больше 10%.
Далее я стал по порядку подставлять в получившуюся формулу двузначные числа. Результаты, конечно, были примерно близки к истинным квадратам чисел, но все же отличались от них. Тогда для каждого числа я нашел разницу между настоящим и мнимым квадратами и обозначил ее как ∆ (дельта)=A^2-B.
Посмотрев на все дельты, я заметил некую закономерность: каждое значение ∆ прямо пропорционально зависело от числа десятков X, поэтому теперь я имел право разделить ∆ на X.
Полученную величину я назвал K, кстати, она в дальнейшем сыграет важную роль. Теперь, взглянув на все значения K, я снова кое-что замечаю: каждое K кратно 20, поэтому почему бы не разделить его на 20? Сделав это, я заметил, что получившиеся значения напрямую зависят от числа единиц Y, а именно разность Y-5 и дает нам K/20. Наконец, все это можно было собрать в единое целое:
Если A=10X+Y, то:
1) A^2=10X*(10X+10)+Y^2+∆
2) A^2=10X*(10X+10)+Y^2+ KX
3) A^2=10X*(10X+10)+Y^2+20X(Y-5)
На практике использоваться будет вторая формула. Первая и третья формулы отражают алгебраический смысл выведенного мною способа быстрого возведения в квадрат двузначного числа.
Теперь самое главное, как этим пользоваться? Это проще, чем кажется.
Возьмем для примера число 68.
1 действие. Делаем все как в книге.
«Пусть двузначное число кончается цифрой 5. Тогда для возведения этого числа в квадрат надо умножить цифру десятков на следующую за ней цифру, а 5 возвести в квадрат и приписать результат 25 после полученного произведения.»
6*7=42
8^2=64
Значит, получаем 4264, причем данное число мы получаем моментально, на это требуется буквально полсекунды и знание таблицы умножения.
2 действие: берем коэффициент K из таблицы и умножаем его на число десятков. Коэффициент K берется в соответствии с числом единиц Y. Это единственное, что нужно запомнить в данном способе возведения в квадрат. Если вас это пугает или вы этим не довольны, другие умные люди предлагают отдельные способы возведения в квадрат двузначных чисел для каждой группы чисел! Таких групп около пяти, значит, столько же способов. Зачем усложнять, если теперь есть универсальный способ? действие: берем коэффициент K из таблицы.
Коэффициенты не трудно запомнить, зная, что каждый коэффициент отличается от предыдущего на 20. Более того, для 0 и 5 коэффициент равен 0, поэтому запомнить надо всего 8 коэффициентов.
Закончим, наконец, умножение:
60*6=360
3 действие. Складываем получившееся:
4264+360=4624
Заметим еще раз, что числа 4264 и 360 мы получили мгновенно, и все, что остается это сложить их.
Итак, выведенный мною способ, на мой взгляд, является наиболее эффективным, по сравнению с какими либо другими способами, благодаря своей универсальности, простоте и скорости вычисления. Данный способ требует 2 алгебраических действия(имеем ввиду с большими числами) против 7,как в способе решения в столбик. Единственное, что может смутить, это необходимость запоминания небольшой таблицы соответствия. Однако, она легко запоминается после пары-тройки тренировок. Во всяком случае, это проще, чем запоминать 100500 отдельных способов решения данной задачи.
