Точка вне прямоугольника и вписанный четырёхугольник / ЕГЭ Профиль №16

Ещё одно 16-е задание из ЕГЭ. Интересное и удивительно простое. Действий будет минимум. Полезно и выпускникам и девятиклассникам, готовящимся к ОГЭ.

Задание, как и все предыдущие, взято из сборника вариантов для подготовки к ЕГЭ. «Ященко И. В. Профильный уровень ЕГЭ-2021».

Условие

Вариант 6. Часть 2. Задание 16

Рассуждение

• В прямоугольнике диагонали равны.
• Пересекаясь образуют четыре равнобедренных треугольника, попарно равных.
• Известен угол при основании одного, можно узнать все углы во всех треугольниках.
• Точка лежит вне прямоугольника и образует с вершинами тупой угол, значит прямоугольник и точка лежат в разных полуплоскостях относительно прямой BC.
• В пункте а надо доказать равенство углов, для этого рассмотрите четырёхугольник, вершинами которого они образованы.
• В пункте б прямая пересекает сторону AD, но она еще пересекает и сторону BC, образуя пары треугольников.

Доказательство (пункт а)

Окружность НЕ только для красоты

Рассмотрим четырёхугольник OBPC

Через равнобедренный треугольник ∆DOC найдём ∠DOC, а затем смежный ему ∠COB:

∠COB = 45° — угол в четырёхугольнике OBPC;
∠COB + ∠BPC = 180° — противоположные углы, можно описать окружность.

∠POB и ∠PCB опираются на одну дугу BP, а значит равны.

Решение (пункт б)

Окружность пригодится снова

Дуги OB и OC равны — т. к. ∠OBC = ∠OCB в ∆OBC.

∠OPB = ∠OPC — следует из равенства дуг выше (вписанные углы).

KP — биссектриса в ∆BPC, делит сторону BC на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам (свойство биссектрисы треугольника) BP и CP (известны по условию).

По теореме косинусов в ∆BPC найдём BC:

BC = 13;
BK : KC = BP : PC = 7 : 5√2 — свойство биссектрисы.

Составим уравнение и найдём BK.

BK = 91 (5√2 - 7) — избавляйтесь от иррациональности в знаменателе очень аккуратно ( если умножать на 7 - 5√2 < 0 получится отрицательное значение).

∆DFO = ∆OBK — по стороне и двум углам (DO = OB; вертикальные углы; накрест-лежащие);
DF = BK = 91 (5√2 - 7) — следует из равенства выше.

Ответ: 91 (5√2 - 7)

Заключение

Для такого решения пригодится знать:

• Сумму углов треугольника (а);
• Свойство смежных углов (а);
• Свойство углов вписанного четырёхугольника (а);
• Свойство вписанных углов, опирающихся на одну дугу (а, б);
• Теорему косинусов (б);
• Свойство биссектрисы угла треугольника (б);
• Как избавляться от иррациональности в знаменателе (б).

Применение

Это был 6-й вариант, подобное задание в «Варианте 7» того же сборника.

Свойство биссектрисы тут заметить не просто, но можно. Но интересно здесь и то, что равенство треугольников ∆DFO = ∆OBK в виде задания №24 встречается в ОГЭ, а тут мы этот факт «пробежали».

Пробуйте, экспериментируйте, решайте больше сложных заданий, делитесь решениями. Удачи!