Четыре подобных треугольника и радиус вписанной окружности / ЕГЭ Профиль №16

Продолжим рассматривать интересные и выпускникам и девятиклассникам задания по планиметрии из второй части профильного уровня ЕГЭ.

Задание возьмём «откуда же, оттуда же» - из сборника «Ященко И.В. Профильный уровень ЕГЭ-2021».

Условие

Вариант 4. Часть 2. Задание 16

Рассуждение

• Противоположные стороны - не параллельны. Значит при диагоналях не будет равных накрест-лежащих углов.
• Диагонали пересекаются... Четырёхугольник - выпуклый.
• Диагонали перпендикулярны, можно найти площадь через диагонали и угол между ними.
• Четыре подобных треугольника, прямоугольных подобных треугольника (точка O - одна из вершин). Скорее всего, их там больше.
• Нарисовать точный рисунок будет не сложно, но не сразу. Лучше понять четырёхугольник поможет пункт а.
• После пункта а (можно вписать окружность) будет ясно, что площадь данного четырёхугольника можно найти ещё одним способом.

Доказательство (пункт а)

Начнём с перпендикулярных диагоналей

CA⟂BD

Отрезки BC и AD не должны быть параллельны, значит:

∠BCO ≠ ∠OAD — накрест-лежащие при секущей AC;
∠CBO ≠ ∠ODA — накрест-лежащие при секущей BD.

Но треугольники должны быть подобны, значит:

∠CBO = ∠OAD — соответственные углы равны;
∠BCO = ∠ODA — соответственные углы равны.

Аналогично с отрезками CD и AB.

Противоположные стороны ABCD - не параллельны

∠BCO + ∠OCD = ∠BCD = 90° — сумма острых углов прямоугольного треугольника;
∆BCD и ∆ABD — прямоугольные;
∆BCD = ∆ABD — по гипотенузе и острому углу;
AB = BC и CD = AD — соответственные катеты.

Из выше сказанного:

AB + CD = BC + AD — суммы противолежащих сторон равны, можно вписать окружность.

Последнее — это утверждение обратное свойству описанного четырёхугольника. Доказательство этого утверждения требует рассмотрения двух ситуаций, от чего становится объёмным. Но тут, из-за диагонали BD, являющейся биссектрисой углов, доказательство будет чуть короче. Чуть. В учебнике «Атанасян Л. С. Геометрия 7-9 кл.» само утверждение — на 180 стр., доказательство — в задаче 724.

Решение (пункт б)

Окружность нам для красоты

Окружность вписанная в четырёхугольник

CO = AO — высоты в равных треугольниках.

CO — высота проведённая к гипотенузе в ∆BCD, а значит не может быть больше половины гипотенузы (знаете почему?). Вывод: AC меньше или равно BD. По условию, как раз, меньше.

Далее пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:

CO = √(BO • OD) — составим уравнение, найдём проекции;
BC = √(BO • BD) — подставим и узнаем катет BC;
CD = √(OD • BD) — подставим и узнаем катет CD.

AB = BC = 2√13;
AD = CD = 3√13.

Площадь ABCD можно найти двумя способами:

1. Половина произведения диагоналей (всё известно);
2. Полупериметр на радиус вписанной окружности (радиус не известен).

Приравняем эти площади и найдём радиус вписанной окружности.

Ответ: 1,2 √13

Заключение

Было сложно, но Вы смогли вспомнить и применить:

• Признаки параллельности прямых (а).
• Сумму углов треугольника (а).
• Признаки равенства прямоугольных треугольников (а).
• Свойство сторон описанного около окружности четырёхугольника (а).
• Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (или метрическое соотношение сторон) (б).
• Площадь четырёхугольника через диагонали и угол между ними (б).
• Площадь четырёхугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности (б).

Применение

Подборки задач не будет. Снова. Но есть «Вариант 3» в сборнике, аналогичная задача.

Из этой задачи нужно запомнить подобие четырёх треугольников и каким оно может быть (попробуйте пренебречь тем, что противоположные стороны не параллельны), а также формулы площади четырёхугольника.

Пробуйте, экспериментируйте, делитесь способами решения в комментариях. Удачи!