Начиная с этой задачи будем разбирать задания №16 из 2-й части профильного уровня ЕГЭ. Выбирать будем планиметрию, чтобы было интересно и девятиклассникам тоже.
Для удобства задания будут браться из сборника «И. В. Ященко. Профильный уровень ЕГЭ-2021».
Условие
Рассуждение
Для начала - нарисуем и отметим всё, что известно:
- На рисунке уже показано, точки M и N - центры окружностей (отрезки BD и AE перпендикулярны, вписанные углы по 90°).
- ∆BEC и ∆CDA - прямоугольные, подобные (почти это и нужно доказать в пункте а) и есть равные катеты (BC = CA).
- Отрезок соединяющий центры касающихся окружностей будет проходить через точку касания.
Доказательство (пункт а)
- MN - отрезок соединяющий центры касающихся окружностей;
- ∠MCE = ∠ACN - как вертикальные;
- ∆MEC и ∆CNA - равнобедренные;
- ∠MEC = ∠CAN - как равные вертикальным;
- EB || AD - по накрест-лежащим углам.
Решение (пункт б)
- ∠BEC = ∠CAD - из доказательства выше;
- ∆BEC - прямоугольный, sin ∠BEC = BC / BE;
- ∆ACD - прямоугольный, cos ∠CAD = AC / AD;
- BC = AC - по условию, BE = 30, AD = 2√15 - диаметры окружностей;
- Составим уравнение через Основное Тригонометрическое Тождество и найдём BC.
Ответ: 7,5
Заключение
Что пригодилось:
- Знание свойств касающихся окружностей (а);
- Знание свойств равнобедренных треугольников (а);
- Знание признаков параллельных прямых (а);
- Отношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике (б);
- Основное тригонометрическое тождество (б).
Применение
Составлять списки похожих заданий из банка заданий ФИПИ как это было с 25-ми заданиями ОГЭ - не получится. Банк заданий для профильного уровня ЕГЭ немного в другом состоянии, но можно взять «Вариант 1» из того же сборника и решить 16-е задание оттуда.
Пробуйте, экспериментируйте, предлагайте свои решения. Удачи!
