1041 подписчик

Пропорциональные отрезки и площадь четырёхугольника

23 марта 202123 мар 2021

288

1 мин

Оглавление

Задача
Рисунок
Решение

Мы уже искали площадь четырёхугольника через формулу, пробовали и без формул - через пропорциональные отрезки (вторая задача). Но там, скорее, было неожиданное развитие или продолжение задачи и разбор неверного условия (это было больше в комментариях). На последнюю задачу откликнулись многие. Даже заметка на Дзене написана по ней.

Новая задача, скорее про пропорциональные отрезки, но при решении могут быть использованы и формулы, например площади треугольника. Площадь самого четырёхугольника найти можно через основное свойство площади фигуры, но это не обязательно.

Напомню, что площади подобных треугольников относятся, как коэффициент подобия возведённый в квадрат. А ещё, что высоты в треугольнике обратно пропорциональны основаниям, к которым проведены. Возможно, что-то из этого пригодится.

На этот раз задача с верным условием, без подвохов (если не считать сложность). Решить её можно любым понравившемся Вам способом, а поделиться решением можно в комментариях. Позже будет опубликовано решение, чтобы не пропустить его - подписывайтесь на канал 🔔.

Приступим? Условие задачи и рисунок 👇

Задача

Высоты AP и BM остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке N. Найдите площадь четырёхугольника MNPC, если BM : AP = 8 : 7, а площади треугольников ANM и NBP равны соответственно 3 кв.см и 12 кв.см.

Рисунок

Обновлено:
Так как в комментариях задачу успешно решили в течении дня, добавляю своё решение ниже.

Решение

Рассмотрим прямоугольные треугольники ∆APC и ∆BCM, они подобны по первому признаку подобия - двум углам (угол 90° и общий угол ∠C).

AP : BM = 7 : 8 — коэффициент подобия.

Значит площади этих треугольников относятся, как коэффициент подобия в квадрате — 49 : 64.

Так как площадь четырёхугольника MNPC нам неизвестна и он входит в каждый из подобных треугольников — выразим его площадь через x.

(3 + x) — площадь ∆APC;
(12 + x) — площадь ∆BCM;
(3 + x) : (12 + x) = 49 : 64 — отношение площадей, решим и узнаем x;
x = 26,4 (кв. см) — площадь четырёхугольника MNPC.