Задание для поступления в школу "СУНЦ МГУ" №4. Равнобедренный треугольник. Эллипс. Зигзаг

Вчера (или позавчера) поступило предложение разобрать задание для «поступления в школу "СУНЦ МГУ", которая попадается под 4-ым номером»:

Есть две параллельные прямые, расстояние между ними пусть будет L. Даны точки A и B на первой и второй прямой соответственно, пусть расстояние между их проекциями на одну из прямых равно a. Найти минимальную длину ломаной APQB, где P лежит на второй прямой, а Q - на первой.

Оказалось, не просто, поэтому мнение экспертов в комментариях как никогда «важнО и нужнО». Это #геометрия, а значит — очень интересно! Пробуем?

Расстояние

Начнём с простого, но, как оказалось, не очевидного. Понятия расстояния. Под одним из решений в комментариях (теперь уже удален), читательница высказала мнение, что расстояние - не обязательно кратчайший путь, только когда это оговаривается условием. Так вот...

Три вида расстояний:

1. Расстояние между точками A и B - отрезок AB;
2. Расстояние между точкой A и прямой BC - перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой BC;
3. Расстояние между параллельными прямыми AB и CD - перпендикуляр, проведённый из любой точки принадлежащей прямой AB к прямой CD.

Эти три расстояния никогда не оговариваются условием, как «кратчайшие».

Расстояние между точками

Проверьте, насколько Вам понятно понятие расстояния между точками, найдите расстояние между точками A и B на рисунке ниже, проверьте свои ответы пролистав галерею:

Найти расстояние между точками A и B

Вывод

Неважно, как две точки располагаются на плоскости - расстояние между ними, это всегда отрезок, началом и концом которого будут данные точки (хоть на двух прямых эти точки, хотя на одной, хоть на отрезках).

Расстояние между тремя точками. Ломаная

Усложним, добавим ещё одну точку. Точку C. Как найти расстояние между тремя точками? А как найти кратчайшее расстояние между тремя точками?

Тут всё зависит от взаимного расположения. Сразу оговоримся, что точки совпадать не могут. Тогда:

1. Три точки располагаются на одной прямой;
2. Три точки НЕ располагаются на одной прямой.

В первом случае: это отрезок началом и концом которого будут две точки, а третья принадлежит данному отрезку.

Во втором случае: взаимное расположение точек таково, что можно построить треугольник ∆ABC, а дальше всё зависит от условия. Но, так или иначе, это будет связано со сторонами треугольника ∆ABC и ломаной, которая будет образована двумя сторонами этого треугольника.

А что, если кратчайшее расстояние между тремя (не лежащими на одной прямой) точками нужно найти самостоятельно? Например, даны т. A и C - на первой параллельной прямой, а т. B - на второй. Точки A и C перемещать нельзя. Найти такое положение т. B, чтобы длина ломаной ABC была наименьшей.

Найти наименьшую длину ломаной ABC

Уверен, у Вас получилось найти такую ломаную... Но что, если Вы ошиблись? Как это проверить? А если не ошиблись и догадались верно, как доказать? Нарисуйте свой вариант и проделайте всё следующее.

Я ошибусь нарочно, построю ломаную ABC, как показано на рисунке:

Ломаная ABC с «наименьшей длиной», но это не точно!

Длина ломаной ABC - наименьшая? Проверим это, достроим т. D, симметричную т. C относительно второй прямой (содержащей т. B). И соединим т. B и D. Треугольник ∆CBD - равнобедренный (BE - срединный перпендикуляр).

AB + BC = AB + BD

Тогда, по свойству длины отрезков, очевидно:

AB + BC = AB + BD - этим выводом ниже еще воспользуемся.

Соединим т. A и D. Точку пересечения отрезка AD со второй прямой назовём т. K.

А у Вас получился ∆ABD?

У меня получился ∆ABD, а у Вас? Если да, то Вы тоже ошиблись с выбором B. А если т. K и B совпали (треугольник не получился), то это и есть самый короткий путь от т. A к C, через т. B. В моём случае ломаная AKC будет иметь меньшую длину, чем ломаная ABC.

AK + KC < AB + BC

Почему? Благодаря теореме, которая называется неравенство треугольника:

Любая сторона в треугольнике всегда меньше суммы длин двух других.

А значит:

AD < AB + BD — неравенство треугольника ∆ABD;
AB + BD = AB + BC — доказывали выше;
AD = AK + KC — медиан CK в прямоугольном ∆ADC;

AK + KC < AB + BC — длина ломаной AKC меньше.

Конечно, возможны и другие способы это доказать.

Способ №1

Теорема Пифагора, но тут придётся проверять несколько вариантов, обобщать, как-то обосновать ответ.

Способ №2

Производные, но это ещё 9 класс. Так что в другой раз.

Способ №3 или «А при чём тут эллипс?»

Эллипс. Опять не по программе 9-го класса, но очень интересно.

Способ №4

Ваш способ, предложите его в комментариях. Нужно Ваше экспертное мнение.

Заключение

Наименьшая длина ломаной ABC (из трёх точек, не лежащих на одной прямой и не совпадающих) достигается, когда AB = BC.

Зигзаг. Ответ

На поставленный в самом начале вопрос.

Какой будет эта ломаная? И какой будет наименьшая длина ломаной?

Это будет зигзаг, т.е. какое-то количество равных прямоугольников с одной диагональю симметричных друг другу относительно оси (высоты). При этом количество точек (а значит и равных симметричных прямоугольников) на параллельных прямых не имеет значения.

На рисунке ниже буквой A обозначим данные точки, а буквой B - их проекции на другую прямую. Нечётные порядковые номера точек (A₁, A₃, A₅ и т.д.) на первой параллельной прямой, а чётные - на второй. A₁B₁A₂B₂ - прямоугольник с диагональю A₁A₂.

Пример ломаной из 8 точек с наименьшей длиной. Все прямоугольники и диагонали равны

Если это прямоугольники, а ломаная - сумма одинаковых диагоналей прямоугольников, можно вывести формулу для нахождения наименьшей длины такой ломаной:

Формула для расчёта длины ломаной с чётным числом точек

Ответ: 3 √(L² + a²/9)

Спасибо, что дочитали до конца. Надеюсь, что Вам понравилось. Ставьте лайк, оформляйте подписку, ну вот это вот всё 😂

Читайте также:

🔴Пропорциональные отрезки и площадь четырёхугольника

🔴Пропорциональные отрезки в треугольнике / Геометрия / ОГЭ

🔴Пропорциональные отрезки (и не только) в треугольнике. Часть 2