Задание №25 / Геометрия / ОГЭ

Рассмотрим ещё один тип задач. В открытом банке такого типа задача встречается около 10 раз, ссылка на список из этих задач будет внизу. Приятного чтения!

Задача

Рис. 1. Условие задачи из открытого банка ФИПИ (A7594E)

Рассуждение

Первое - это биссектрисы, их две и они пересекаются в точке K, т.е образуют как минимум один треугольник.

Биссектрисы проведены в параллелограмме из вершин A и B, а это две соседние вершины. Значит биссектрисы проведены из вершин односторонних углов.

Ну и расстояние от точки пересечения биссектрис до стороны AB тоже известно.

Решение

Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Так его и нарисуем.

Рис. 2. Параллелограмм ABCD

AM и BN - отрезки биссектрис углов A и B параллелограмма ABCD, покажем это на рисунке одинаковыми дугами.

Рис.3. Биссектриса - это крыса...

Из точки пересечения нужно провести «расстояние» до стороны AB, а значит надо опустить перпендикуляр (отрезок под углом 90°) из точк K к стороне AB (или её продолжению, если необходимо).

Рис. 4 KH⟂AB

Рисунок готов, теперь биссектрисы. Мы их специально продолжили за точку их пересечения (за точку K) до сторон параллелограмма, так, чтобы их можно было назвать секущими для параллельных сторон AD и BC.

Раз у нас есть параллельные (AD и BC) и секущие (AM и BN), значит у нас есть и накрестлежащие углы. Покажем их на рисунке (рис. 5).

Рис. 5. Накрестлежащие углы - равны.

Равные углы образованные биссектрисой, а также равные накрестлежащие углы отмечены одинаковыми дугами: ∠BAM = ∠NAM = ∠BMA, а ещё ∠ABN = ∠MBN = ∠ANB.

Из этих равенств следует, что ∆ABM и ∆ABN - оба равнобедренные по равным углам при основаниях AM и BN соответственно.

В ∆ABN AK - биссектриса, высота и медиана, а значит BK = KN.

Самое время дорисовать ещё две высоты:

Рис. 6. KE⟂BC; KF⟂AD

И рассмотреть сразу три треугольника: ∆BKH, ∆BKE и ∆FKN. Все они прямоугольные, гипотенузы у них равны, и по одному равному острому углу есть у каждого, а значит ∆BKH = ∆BKE = ∆FKN по гипотенузе и острому углу.

В равных треугольниках - соответственные стороны равны, а значит KH = KE = KF = 1.

Рис. 7. KH = KE = KF = 1

Прежде, чем приступить к поиску площади, ещё необходимо доказать, что EF - высота параллелограмма (а не ломанная линия).

Через точку K можно провести перпендикуляр к каждой из сторон (AD и BC) и при том только один, а так как они параллельны, то существует только один перпендикуляр проведённый через точку K.

Рис. 8. Формула площади параллелограмма

Теперь можно найти площадь, так как известна и высота и основание данного параллелограмма. Высота - EF, основание - BC. EF = 2; BC = 2.

Рис. 9

Подставляем и находим. Площадь данного параллелограмма равна 4.

Ответ: 4

Заключение

Что было применено:

1. Свойство биссектрисы
2. Свойство углов при параллельных прямых и секущей
3. Признаки равенства прямоугольных треугольников
4. Площадь параллелограмма

Применение

Список всех подобных задач можно найти в открытом банке ФИПИ по ссылке.