Иногда встает вопрос о практическом применении интегралов и других таких штук. В общем ответ такой: войны выигрывает армия, а не конкретный автомат или там шпага. Конкретный солдат может за всю войну никого не убить ни разу. И не потому, что плохо воевал. Или вот игра го: иногда можно выделить ход, которым была выиграна партия, но нельзя сказать, какой камень (или какой прием) приносит победы. Умение играть его приносит.
Но есть изящные примеры практического применения высшей математики. Вот один из них.
Пожарное ведро изготавливается из жестяного круга, из которого вырезается сектор; края стягиваются и запаиваются, и получается конус. Это и есть пожарное ведро.
Если вырезаемый угол мал, получится "блюдце", "вьетнамская шляпа", и объем будет мал. Если же угол большой, то получится узкий конус, "нос буратино", и объем тоже мал.
При каком же угле объем максимален? И какой? И сколько стоят отклонения от оптимума?
Радиус круга R можно принять за единицу: объем всё равно пропорционален кубу этого радиуса, и вернуть его несложно. Вырезаемый угол обозначим x и он пусть будет в радианах.
Этому углу соответствует дуга длиной х, а длина остатка окружности 2п-х. После образования конуса это — длина окружности в основании конуса. Тогда радиус r этого основания равен 1-х/2п.
Высота h конуса получается из теоремы Пифагора: h²=1-r².
Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:
V(x) = ⅓πr²h.
Множитель ⅓π на оптимизацию не влияет, но влияет на результат. Теперь как найти максимум? В точке максимума производная обязана обратиться в нуль:
2rr'h + r ²h' = 0.
Вариант r=0 нас не устраивает, это явно минимум; производная от r по х равна константе. Получаем
πrh' = h.
Производная корня есть единица, деленная на удвоенный корень. Применяя правило дифференцирования сложной функции, приходим к
h' = -rr'/h = r/(2пh).
Это дает нам вот что:
r ² = 2h ², или r ² = 2 - 2r ².
Отсюда r ²=⅔, то есть r≈0.817, x/2п≈0.184, х≈1.153 радиан.
В градусах еще проще, так как 2п радиан есть 360 градусов, что дает 66.06. Само значение объема приблизительно 0.40, и единица объема — это куб, построенный на радиусе исходного круга.
Посмотрим, что у нас получилось. Угол "неровный": не 90, не 60, не 100 даже. "Угадать" такой угол непросто. Решить школьными методами вряд ли получится.
Но при 60 градусах решение очень близко к оптимальному: отличие меньше одного процента. 45 и 90 градусов теряют около 3-4 процентов. А вот 180 градусов уже более 43%.
Объем пропорционален кубу радиуса R исходного круга, так что каждый лишний сантиметр весьма прилично увеличивает объем ведра: при 30см имеем 10882 куб.см, при 31см более 12000, при 32см уже 13207, а вот при 29 всего 9830.
А что, если мы делаем ведерко еще из вырезанного куска? Не правильно ли тогда резать круг пополам?
Ну, тогда нам надо искать максимум суммы двух объемов: одного V(x), другого V(y=2п-х). Получится такое уравнение:
2r(x)r'(x)h(x) + r ²(x)h' = 2r(y)r'(y)h(y) + r ²(y)h'(y).
При x=y решение, конечно, есть, но это может быть минимум.
Максимум при угле около 116 градусов, что чуть больше 2 радиан. И это дает 0.45664. Как видим, это чуть лучше, чем одно ведро, но ненамного. При этом одно ведро будет иметь объем 0.35, другое втрое меньше (0.1). При 180 градусах мы имеем 0.4534498, то есть меньше, но совсем чуть-чуть.
Максимумов два, идентичных. Это и понятно, потому что ведерок два, и за "первое" можно выбрать любое из двух.
Оптимальное ведро из первой задачи, когда мы просто выбрасывали вырезанный кусок, имело объем около 0.4, ну а второе ведерко добавляло к этому 0.034665. То есть даже минимум при 180 градусах лучше, чем оптимум в предыдущей задаче. Два ведра лучше, чем одно ведро!
А что, если мы разрежем круг на N равных секторов и скрутим из каждого ведерко? Тогда объём будет NV(2п-2п/N). Но нетрудно убедиться, что при N>1 этот объем убывает, а для больших N он убывает как 1/N, то есть предел равен нулю. Плохая идея. Если много маленьких ведерок, то малость ведерка перевешивает их количество.
Это тот же эффект, как взрывоопасность угольной пыли. Кусок угля горит, но горит медленно. А пыль взрывается. Потому что у куска, скажем, куба, площади поверхности пропорциональна степени ⅔ объема, и коэффициент невелик (для куба это 6, для шара чуть меньше 8). А у пыли (набора n частиц того же суммарного объема v) намного больше: у каждой пылинки соотношение то же, только объем пылинки равен v/n, площадь пылинки пропорциональна n в степени -⅔, а суммарная площадь в n раз больше площади одной пылинки; в итоге площадь всех пылинок пропорциональна кубическому корню из n. Число пылинок n можно оценить как обратную к объему пылинки. Размеры пылинки порядка десятых долей миллиметра, то есть объем порядка сотых или тысячных куб.мм (и менее), то есть один куб.см угля даст сотни тысяч или миллионы пылинок, и это оценка снизу. Кубический корень превратит миллион в сотню, но тем не менее: площадь больше на два порядка и соответственно выше и интенсивность горения.
Если бы была возможность сделать не конус, а шар, то это было бы идеально, так как шар имеет максимальный объем при данной площади поверхности. И объем этот (при единичном радиусе круга) равен п/6 (немного больше 0.5).
В самом деле, объем шара 1⅓пr ³, площадь сферы 4пr² и она равна площади п исходного круга единичного радиуса, из которого мы лепим этот сосуд. Выразим объем через площадь: V=√(S³/п)/6, подставим сюда S=п.
То есть, идеал, недостижимый, дал бы 0.52, а безотходное производство конусов дало 0.45. Разница менее 15%. Но разница.
А что, если круг можно резать на любые сектора, но их должно быть N? Какие тогда лучше выбрать?
Объем тогда равен сумме объемов V(2п-i), где i — очередной сектор (это не целое число!), причем сумма всех i равна 360 градусов. Следуя схеме Лагранжа, мы оптимизируем суммарный объем со штрафом, вычитая из него отличие суммы всех i от 360 градусов, умноженное на множитель Лагранжа L (штрафная ставка).
Независимо от вида функции V(х) получается набор однотипных уравнений V'(2п-i)=L. Отсюда сразу следует, что одно решение есть: все сектора одинаковые. А раз одинаковые, то это 2п/N. И множитель Лагранжа уже не очень-то и нужен.
Как насчет других решений? Мы же видели, что для N=2 это решение минимум, а не максимум.
Если подставить выражение для производной V'(x), то придем к такому:
x² = п² (4 - 1/(9L²) ).
То есть решений два, но разного знака. Первая мысль: отрицательное решение не годится. Но для N=2 это не так, потому что угол периодичен: вместо отрицательного -x можно взять -х+2п. И тогда, кстати, сумма двух решений как раз и равна 2п. Вот это тот самый максимум, который мы и так уже нашли. А деление на две равные части есть минимум.
Для N>2 это уже не так. Отрицательные углы не годятся, а через период тоже не подходит, так как не будет получаться сумма. Разве что один из секторов взят равным нулю, то есть N по сути на единицу меньше. Если же все сектора ненулевые, то решение одно, и это деление поровну. Но, как мы уже выяснили, это минимум. Максимум получается всё-таки отказом от одного (или более) сектора, и либо он недостижим, либо это и есть максимум; а тогда встает вопрос об отказе от ещё одного сектора. Если это допустимо, то мы придём к двум, что и есть реальный глобальный максимум.
Так что если вам дозволено резать круг на сколько угодно секторов, то ваш выбор — два, причем не равных друг другу: один примерно 116 градусов, второй, соответственно, 244. Если вам надо резать именно на семь частей, то пять должны быть равны нулю (или как можно ближе к нулю), а два других такие.
Но если точность не очень высока, можете особо не утруждаться.
Вот теперь мы выжали из задачи всю информацию.
