Продолжим тему вулканов и их форм. Я предлагаю вам самим сделать вулкан дома. Нет-нет никаких соды и уксуса, дыма и огня не будет. Чистая математика.
Итак, для того, чтобы получить вулканический конус нужно сесть или лечь на диван, вытянуть ноги, положив одну ногу на другую, оттопырить большой палец верхней ноги и накрыть получившуюся конструкцию пледом. Как показано на фото.
Если вы решили, что енот математик вас дурачит, то не торопитесь возмущаться! Во-первых, правда ведь, похоже?! А во-вторых, этот холмик, и в самом деле имеет непосредственное отношение к форме вулканической постройки.
Кто строит вулканы? Конечно же, извержения. Они насыпают его песком и камнями, изливают на его склоны лаву, в общем, работа кипит! Появляющийся на вершине новый материал скатывается по склонам, перемещаясь от центра к подножиям.
А что происходит между извержениями? Спящий вулкан начинают растаскивать ветер, вода, лëд, обвалы... Он как клякса растекается по поверхности земли. Причем чем круче склон, тем быстрее идëт разрушение.
Есть такой раздел математики, который называется "математическая физика". Он описывает на языке уравнений и их решений самые разные природные явления. При этом важно то, что одним уравнением можно описать много самых разных вещей различной природы, а если уравнения у двух разных явлений совпадают, то будут совпадать формы или поведение, рождённые этими явлениями.
Стройка вулкана описывается линейным уравнением переноса, а его разрушение — параболическим уравнением Лапласа.
Уравнение переноса очень простое: оно, например, опишет горизонтальное перемещение верëвки, лежащей на земле, которую тянут или толкают тоже в горизонтальном направлении.
Уравнение Лапласа более интересное. Оно описывает диффузию (растекание кляксы, распространение запаха в неподвижном воздухе), теплопроводность, электрическое поле, форму мыльной плëнки на рамке…
Для каждого из уравнений матфизики полезно найти самое простое решение для точечного источника силы, вещества или энергии. Такие решения называются функциями Грина. Из них, как из кирпичиков можно собирать решения в более сложных случаях. На плоскости для уравнения переноса фунция Грина — это простой конус, а для уравнения Лапласа — фигура, образованная вращением логарифмической кривой.
Итак, с точки зрения матфизики классическая вулканическая постройка — это функция Грина для уравнения Лапласа с переносом. Можно расчитать это решение математически и получить форму идеального вулкана (оно будет давать конус для быстрорастущего вулкана, а для старого или потухшего вулкана описываться гиперболическим арксинусом, показанным на рисунке), а можно получить это же решение с помощью пледа на диване.
Небольшое смещение нерастяжимой ткани описывается уравнением переноса, а когда ткань начинает растягиваться, то "включается" уравнение Лапласа. Накрыв пледом торчащую ногу, мы получили функцию Грина для уравнения, подобного вулканическому, а значит, получили простую, но корректную модель вулкана.
Напоследок, заметим, что в нашей модели появились складки, похожие на барранкосы, — глубокие овраги на склонах вулкана. За их образование отвечают более сложные процессы и тут совпадение мне кажется случайным. Если ткань будет хорошо тянуться, то складок можно избежать и получить решение для идеального или усреднëнного вулкана.
Вы сами можете получить такой вулкан, с помощью трикотажной ткани и зубочистки.
На снимке приведён ещё один пример работы уравнения Лапласа. Там в сугробе какой-то предмет (целый тандыр). Но снежное покрывало размыло его форму, превратив в колоколообразную поверхность. Чем больше будет снега, тем больше этот колокол будет превращаться в решение уравнения Лапласа, похожее на гауссову кривую, как на следующем рисунке:
