Продолжаем серию публикаций о кружковском мышлении. Первые двадцать восемь частей:
1. Об осмысленности и автоматизме;
2. Кружковская задача;
3. Кружковская задача 2;
4. Шахматематика;
5. Кружковская задача 3;
6. Уровни очевидности;
7. Комплексный тест;
8. Кружковская задача 4;
9. Кружковская задача 5;
10. Разрезания и замощения;
11. Кружковская задача 6;
12. Кружковская задача 7;
13. Авторская задача;
14. Кружковская задача 8;
15. Задача про жизнь;
16. Кружковская задача 9;
17. Кружковская задача 10;
18. Хитрые доминошки;
19. Школьная задача;
20. Кружковская задача 11;
21. Деление с остатком;
22. Оценка плюс пример;
23. Опять двадцать пять...;
24. Кружковская задача 12;
25. Про календарь;
26. Кружковская задача 13;
27. Великая комбинаторика;
28. Дискретная непрерывность.
Задача
Докажите, что в любой компании из пяти человек какие-то двое имеют одинаковое число знакомых.
Решение
Предположим противное: пусть любые двое имеют разное количество знакомых. Рассмотрим все варианты этих количеств: 0, 1, 2, 3, 4. Их пять, как и людей, поэтому каждый из них встречается ровно один раз (иначе мы уже получим противоречие). Однако если у кого-то 0 знакомых, а у другого - 4, то первый незнаком ни с кем (включая второго), а второй знаком со всеми (включая первого). Противоречие.
Комментарий
Это рассуждение дословно пересказывается для любого количества людей в компании (в том числе - неизвестного). Любопытно, но формулировки "Докажите, что в любой компании из n человек какие-то двое имеют одинаковое число знакомых" и "Докажите, что в любой компании какие-то двое имеют одинаковое число знакомых" дают разную статистику: если в первом случае дети достаточно неплохо повторяют рассуждение (особенно если для конкретного числа оно уже рассказано), то во втором идея ввести обозначение для количества людей в компании оказывается для многих непреодолимым препятствием.
#математика #математическийкружок #образованиевроссии #школа
P.S. Не забывайте прочитать об истории математических кружков в Ленинграде/Санкт-Петербурге и обо мне.