Для начала немного вводных определений. Область определения функции - множество значений, которые может принимать аргумент функции. Область значения функции - множество значений, которые может принимать сама функция.
Пример. Функция y=sinX. Областью определения функции является вся числовая прямая, то есть X может принимать любое значение. А область значений функции будет представлять собой промежуток от -1 до 1 включая, так как синус может принимать значения от -1 до 1. То есть Y может принимать значения от -1 до 1.
Теперь, что такое сложная функция. Сложная функция - это некоторая функция, как бы состоящая из нескольких вложенных друг в друга функций. Мы берем одну функцию и "засовываем её в коробку", то есть "оборачиваем" ее в другую функцию. И так далее. Число "коробок", в которые мы завернем начальную функцию не ограничено. Причем область определения вложенной (внутренней) функции обязательно должна являться областью значений внешней функции, так как внешняя функция в качестве аргумента получает значение вложенной (внутренней) функции. Чтобы понять, приведу пример.
Мы находимся в деревне А, нам нужно попасть в деревню В, но напрямую автобусы между деревнями не ходят. А попасть из пункта А в пункт В можно только через райцентр В.
И если дороги из райцентра Б в деревню В нет, то получается, что мы зря приехали)
В этом примере пункты А, Б и В - это функции, а их "система" - сложная функция. "Дороги", отходящие от этих функций - это области значений функции. И эти дороги должны приходить в следующую функцию, то есть в её область определения. Если бы в области значений А не было бы дороги в Б, то мы бы не попали в райцентр. А если бы в области значений Б не было бы В, то мы не попали бы из райцентра в В.
Разберем простой пример: найти область значений и область определения функции f(x)=3sinX-4;
Итак, область определения мы можем сказать сразу: X может принимать любые значения, так как нет никаких ограничений. Область определения принадлежит от минус бесконечности до плюс бесконечности.
А чтобы найти область значений нам потребуется разбить сложную функцию на несколько простых.
- a(x)=sinx
- b(a)=3a
- c(a)=b-4
Теперь найдем область значений и область определения этих функций.
E(a)=[-1;1], так как синус принимает только значения от плюс единицы до минус единицы. Следовательно область определения следующей функции будет равна области значений этой функции
D(b)=[-1;1]
E(b)=[-3;3]=D(c), так как значение функции а мы умножаем на три, то и область значений умножится на три
E(c)=[-7,-1]=E(f), так как мы из значения функции b мы вычитаем 4, то и из области значений мы вычтем 4. Следовательно, это и будет область значений всей функции F.
