Объем пирамиды и объем усеченной пирамиды.
Объем пирамиды.
Рис. 1
Вывод формулы объема пирамиды будем приводить для общего случая, а именно, для наклонной пирамиды с неправильным многоугольником в основании, в данном случае с неправильным четырехугольником.
На основании известного в математике общего принципа приложений определенного интеграла с помощью сечений, параллельных плоскости основания пирамиды, делим пирамиду на n элементарных, бесконечно малых частей. На рисунке 1 показана i-тая часть из этих n элементарных частей, образованная i-тым сечением на расстоянии от вершины пирамиды, равным Xi и сечением на расстоянии от вершины пирамиды Xi+∆X. Так как ∆X – бесконечно малая величина объем элементарной части пирамиды, ограниченный этими сечениями можно вычислить как объем прямой призмы с высотой ∆X:
Стороны четырехугольника основания ABCD параллельны соответствующим сторонам четырехугольника i-того сечения AiBiCiDi, так как это сечение сделано плоскостью параллельной основанию. Отсюда следует, что все углы четырехугольника основания равны соответствующим углам четырехугольника i-того сечения. Значит эти четырехугольники подобные, а сходственные стороны этих четырехугольников пропорциональны:
Так как i-тое сечение выполнено плоскостью, параллельной плоскости основания, т.е. перпендикулярной высоте, то отношению Xi к высоте h равно отношению сходственных сторон, а именно:
Это следует из того, что при Xi=h стороны четырехугольников сечения и основания полностью совпадают (см. рисунок 1), т.е. соответствующие стороны равны и их отношение также, как и отношение Xi к h равно 1. При Xi=0 стороны сечения равны 0 и их отношение к соответствующим сторонам основания равно 0, также как и отношение Xi к h. Так как при крайних значениях Xi соблюдается пропорция (3), то и при промежуточных значениях пропорция так же будет соблюдаться, потому что все ребра пирамиды – отрезки прямых линий, а все грани плоские.
Так как площади подобных фигур пропорциональны квадратам сходственных линейных элементов (сторон, высот, диагоналей и т.д.), тогда
Где Si – площадь i-того сечения, а S – площадь основания пирамиды.
На основании (3) и (4) получаем:
Эта формула справедлива и для частных типов пирамид (прямой, правильной и т. д.).
Объем усеченной пирамиды.
Формулу объема усеченной пирамиды будем также выводить для общего случая, т. е. для наклонной пирамиды с неправильными многоугольниками в основаниях (Рис.2), где h - высота усеченной пирамиды. Плоскость сечения усеченной пирамиды, в которой лежит верхнее основание, параллельна нижнему основанию. Так как усеченная пирамида формируется из исходной обычной пирамиды, определяем сначала высоту H исходной пирамиды. Затем по известной формуле для объема пирамиды определяем объем исходной пирамиды V и объем части исходной (отсеченной) пирамиды v_1 с высотой (H-h) от вершины О до верхнего основания усеченной пирамиды.
Объем исходной пирамиды равен:
Где S – площадь нижнего основания.
Объем части исходной пирамиды:
Где S_1 – площадь верхнего основания.
Рис. 2
Тогда объем усеченной пирамиды:
В формулу (8) входит высота H, которую определяем аналогично формуле (5), подставив вместо Xi высоту (H-h), так как верхнее и нижнее основания усеченной пирамиды лежат в параллельных плоскостях перпендикулярных высоте, при этом получаем:
Так как H не может быть меньше h выбираем положительное значение квадратного корня:
Подставляя в (8) значение высоты H, получаем:
Таким образом объем усеченной пирамиды будет:
