Почему, почему... так устроен мир, вот почему. Можно ответить и так. На если предположить (а для этого есть некоторые основания), что в мультивселенной рождается множество вселенных с самыми разными свойствами, в том числе и размерностью пространства-времени, то антропный принцип утверждает очевидную вещь: мы наблюдаем такую вселенную, в которой можем иметься, чтобы ее наблюдать.
Так вот именно трехмерность является ключевым требованием. Как я уже рассказывал, закон обратных квадратов неизбежен в некоторых естественных предположениях, в том числе и об отсутствии кривизны. Если пока не рассматривать сильные гравитационные (и другие) поля, то пространство близко к плоскому и там закон обратных квадратов очень точен, что для гравитации (Ньютон), что для электростатики (Кулон). Впрочем, и в сильных полях те же проблемы, поэтому пока сосредоточимся на слабых. Да и Вселенную, в которой повсюду сильная гравитация и это не черная дыра, мне вообразить сложновато.
Причина обратных квадратов в том, что силовое поле точечного источника из-за симметрии постоянно (по величине) на сферах, а из-за сохранения интеграл по сфере постоянен. Площадь сферы пропорциональна квадрату радиуса, вот и получается закон обратных квадратов.
В пространстве размерности N+1 получится закон "обратных степеней N". В четырехмерном закон обратных кубов, в семимерном закон обратных шестых степеней, в двуменом просто обратная пропорциональность, в одномерном вообще не убывает. Чем выше размерность, тем быстрее убывает сила притяжения с расстоянием.
Теперь вспомним про такую величину, как угловой момент. Это "количество вращения", и определяется как векторное произведение радиус-вектора на вектор скорости (точнее, импульса).
Пусть точка вращается по орбите. Можно показать, что вращение будет всегда в одной плоскости: радиус-вектор и скорость в одной плоскости (какой-то, она и строится по этим векторам), сила окажется в той же плоскости, а значит, и ускорение тоже; а потом скорость, изменяясь, останется в этой же плоскости.
Тогда величина момента L равна произведению величины скорости v на расстояние до центра r.
Скорость v же равна (по величине) произведению (величины) угловой скорости w на расстояние r. Получается, что момент равен по величине произведению угловой скорости на квадрат расстояния.
Центростремительное ускорение a равно произведению квадрата угловой скорости на расстояние. Запишем эти формулы:
L=rv, v=wr, a=w²r; L=wr², w=L/r²; a=L²/r³.
Угловой момент сохраняется, это несложно показать из симметрии уравнений Ньютона. Таким образом, "центробежная сила" подчиняется, независимо от размерности, закону обратных кубов. И это важный результат: мы получали такую формулу и у Ньютона, и в ОТО, как часть "эффективного потенциала". У Ньютона там было два слагаемых, притяжение и центробежное отталкивание, а у Эйнштейна (в слабых полях) к этим двум добавляется ещё одно, притягивающее, обратно пропорциональное четвертой степени: оно играет роль для черных дыр только.
Квадрат у L означает, что направление вращения не влияет на направление центробежной силы, что и логично. А вот кубическая зависимость означает, что центробежная сила убывает с расстоянием быстрее силы притяжения, что гарантирует устойчивость траекторий. Отлетит тело чуть дальше - притянется обратно или, по крайней мере, перестанет отдаляться. Приблизится чуть ближе - отлетит назад или, по крайней мере, перестанет падать. Только в пограничных случаях, когда скорость точно равна первой или второй космической, устойчивость нарушается.
А вот в пространствах размерности выше трех устойчивости вообще не будет. В четырехмерном, например, характер убывания обеих сил одинаков: кубический. Так что если момент вращения тела больше массы планеты (их можно сравнивать, приведя к одним и тем же единицам), тело улетит в бесконечность, а если меньше - упадет на центр. Орбита возможна только при идеально точном совпадении. То есть в таком пространстве первая космическая и вторая просто совпадают. Чуть отклонился - и либо упал, либо улетел. Ни планетных систем, ни спутников, ни даже атомов нет.
В пространствах размерности выше всё ещё хуже: сила притяжения убывает быстрее центробежной, так что отдаление нарастает, а падение тоже ускоряется. И то, и другое и с ускорением происходит.
Да и объем корки апельсина слишком велик в пространстве большой размерности.
Двумерное пространство слишком тесное. Как указал Хокинг в одной из своих популярных книг, животное в таком пространстве не может иметь сквозного пищеварительного тракта, не распавшись на две несвязные части. Придется, как морские ежи, и питаться, и наоборот, через одно и то же отверстие тела.
Но мы о другом. В двумерном пространстве притяжение обратно пропорционально расстоянию. Потенциал такой силы есть, это логарифм. А логарифм... растет до бесконечности. Медленно, но неограниченно. То есть разность потенциалов здесь и где-то далеко окажется сколь угодно велика. Что означает невозможность улететь далеко: нет второй космической скорости.
Если в пространствах высокой размерности нет устойчивых связанных систем, то в двумерном нет несвязанных систем. Далекая галактика обладает слишком большой энергией, чтобы оставаться там, где она есть: она притянется (или мы к ней, не суть) и столкнется с нашей, образовав одну большую черную дыру, так как осколкам трудно отлететь далеко и они опять-таки соберутся вместе.
В одномерном сила притяжения вообще не убывает, и там всё совсем плохо с этой точки зрения. И вращения нет, но даже если "центробежное отталкивание" оставить чисто декларативно - это не спасет.
Такой вот хорошо известный, но почему-то мало где подробно растолкованный факт. Всевышний не мог выбрать нам пространство с размерностью побольше или поменьше: у него не было выбора. Конечно, мы не обсудили вариант отказа от законов Ньютона или случай сильной кривизны... Но это в другой раз, пожалуй.
