Этой статьей мы открываем новый формат записей. На подобных разборах мы будем обсуждать тексты про подготовку к экзаменам, обучение, преподавание, а также про сам навык учёбы, самообразование и образование в целом.
Сегодня мы поговорим про один из самых известных и противоречивых объектов школьной математики — таблицу умножения. Поводом для этого стала статья 2016 года, которая в своё время наделала много шума (https://kukina-kat.livejournal.com/354584.html). Она была настолько популярна, что её перепостил известный дизайнер Артемий Лебедев (https://tema.livejournal.com/2318428.html).
Автор статьи, преподаватель математики в вузе, делится своими мыслями по поводу изучения таблицы умножения на примере собственных детей. Текст интересен тем, что показывает как воспринимают преподавание школьной математики люди с обычным математическим образованием. Да и в целом некоторые родители без педагогического образования. Часто именно на примере начальной школы хорошо видно, насколько человек разбирается в методике преподавания.
Статья называется просто: «Таблица умножения». Текст самой статьи — обычным шрифтом, мои комментарии — жирным.
***
Вы же наверняка знаете, что я преподаю математику (Преподает в высшей школе. Это важно. У автора нет опыта работы в начальных классах. В средней школе она работала тоже только с олимпиадниками). А еще вы не раз слышали мнение, что уровень математического образования падает.
Вот, когда мои дети учились во втором классе, я отчетливо себе поняла, почему падает уровень математического образования в школе. Именно во втором классе при закладке самого фундамента математического образования возникает такая гигантская невосполнимая дыра, которую уже никакими костылями в виде калькуляторов не подопрёшь.
А именно, главная проблема — в таблице умножения. (Потом автор в комментариях напишет, что это была ирония. Это-то как раз понятно. Странно винить во всех бедах какую-то таблицу. Нам сейчас важно другое — её выводы из наблюдений за тетрадями).
Посмотрите на тетради в клетку, которые есть у ваших детей-школьников. Я долго-долго ходила по магазинам в поисках тетрадей. И все равно, на всех — вот такая картина.
Есть тетради еще хуже (для старшеклассников) на которых таблицы умножения нет, а есть куча бессмысленных формул (У этих формул есть вполне разумный справочный смысл. Таблицу умножения в старших классах желательно уже знать без тетради)
Ну, так чем же эта тетрадь плоха? Ничего не подозревающий родитель видит, что на тетради таблица умножения. Вроде, всю жизнь же на тетрадях была таблица умножения? Что не так-то? (Указанная выше тетрадь действительно плоха для работы, но не по той причине, которую описывает автор. Сама форма представления в целом правильная, однако всё равно в ней есть как минимум пять недостатков, один из которых очень серьёзный. Кто-нибудь из читателей найдёт все? Есть среди подписчиков учителя начальной школы?)
А проблема как раз в том, что на тетради НЕ таблица умножения.
Таблица умножения, дорогие мои читатели, это вот:
Иногда эту же таблицу даже называют красивым словом "таблица Пифагора". Верхнюю и левую колонки можно не брать, только основной прямоугольник. (Здесь автор придирается к словам. «Таблица умножения» — это общепринятое устоявшееся название, пусть даже она отображается не в виде явной таблицы. Так же, как и «Каспийское море», которое формально не море. Плюс ко всему автор предлагает убрать верхнюю и левую колонки, чтобы совсем запутать ребёнка)
Во-первых, это таблица. Во-вторых, она интересная! (кому интересна? родителю-математику?)
Ни один ребенок в здравом уме не будет рассматривать выписанные столбиками примеры (нагромождение цифр он тоже в здравом уме не будет рассматривать).
Ни один ребенок, как бы гениален он ни был, не сможет найти в выписанных примерах интересные фишки и закономерности (очень спорное утверждение)
Ну, и вообще, когда учитель говорит: "выучи таблицу умножения", а ребенок даже перед собой таблицы не видит — он сразу понимает, что математика — это такая наука, где обычные вещи названы как-то по-другому и надо много-много зубрить, а понять ничего невозможно. И вообще, надо делать "так, как сказано", а не "так, как есть смысл". (Первая серьёзная методическая ошибка, показывающая непонимание того, как построено изучение этого раздела. Таблицу умножения не учат. Это лишь форма представления, которой изредка пользуются как временной шпаргалкой.)
Чем же "таблица" лучше?
Во-первых, в ней нет мусора и информационного шума в виде левой части примеров (то, что автор называет мусором, позволяет быстрее найти нужный пример и ответ к нему)
Во-вторых, над ней можно подумать. Тут даже нигде не написано, что это умножение — просто таблица (Разве хорошо, что это просто таблица без умножения? То есть ученик, просто разглядывая таблицу, должен сам понять какие-то свойства умножения? Вот здесь корень всей магии).
В-третьих, если она постоянно под рукой и ребенок на нее постоянно натыкается, он волей-неволей начинает запоминать эти числа. В частности, на вопрос "семью восемь" он никогда не ответит 55 — ведь числа 55 вообще в таблице нет и не было! (Вторая методическая ошибка. Таблица не должна быть постоянно под рукой или перед глазами)
Запоминать столбики примеров способны только дети с аномальной памятью. В "таблице" надо запоминать гораздо меньше. (Далеко не всегда компактные вещи проще изучать. Ну и повторюсь — таблицу не нужно запоминать отдельно)
Кроме того, ребенок автоматом ищет закономерности. И сам самостоятельно их находит. Даже такие закономерности находят дети, еще не умеющие умножать (Давать таблицу умножения до изучения самого умножения — это методическое преступление. Для маленького ребёнка это просто большой непонятный квадрат с какими-то числами. И всё.)
Например: числа, симметричные относительно диагонали — равны. Понимаете, людской мозг просто настроен искать симметрию, и если ее находит и замечает — очень радуется. А что это означает? Это означает, что от перестановки мест сомножителей произведение не меняется (или что умножение коммутативно, говоря проще). («Коммутативно, проще говоря…» Как в истории от академика В.И.Арнольда про французского школьника. Когда мальчика спросили: "Сколько будет 2+3?", он ответил: "3+2, ибо сложение коммутативно". А сосчитать, что это 5, он не мог.)
Понимаете, ребенок замечает это сам! А то, что человек придумал сам, он запомнит навсегда, в отличие от того, что он зазубрил или ему сказали.
Помните свой экзамен в вузе по математике? Вы же забыли все теоремы курса, кроме той, что вам досталась, и вам пришлось ее доказывать злобному преподу! Ну, это если вы не списывали, конечно. (Я утрирую, но почти всегда это близко к правде).
А потом ребенок видит, что можно не всю таблицу учить, а только половину. Если мы уже знаем строчку умножения на 3, то нам не надо запоминать "восемь на три", а достаточно вспомнить "три на восемь". Уже вдвое меньше работы. (То, что «три умножить на восемь» равно «восемь умножить на три» следует не из какой-то волшебной таблицы, а из многократно проделанных опытов сначала со сложением реальных предметов, а потом с умножением. То есть знание должно строиться на основе реальных или модельных задач, а потом обобщаться)
А кроме того, очень важно, что ваш мозг не принимает сухую информацию в виде каких-то непонятных столбиков примеров, а думает и анализирует. Т.е. тренируется.
Кроме коммутативности умножения можно заметить, например, еще такой замечательный факт. Если ткнуть в любое число и провести прямоугольник от начала таблицы до этого числа, то количество клеточек в прямоугольнике — ваше число. (Опять магия: «Посмотрите на некую таблицу с числами. Вот у неё такое волшебное свойство, вот другое». А откуда она взялась-то? Почему именно её рассматриваем? Может быть таблиц с таким свойством много…)
И тут умножение уже получает более глубинный смысл, чем просто сокращенная запись нескольких одинаковых слагаемых. Идет смысл и для геометрии -- площадь прямоугольника равна произведению его сторон. (Ребенок, не знающий умножения, сможет сам догадаться до свойства площади? Вряд ли.)
А вы не представляете, насколько проще делить с такой таблицей!!! (Делить с помощью таблицы… То есть чисто алгоритмически сначала искать по цифре число, а потом по полученному числу другую цифру? Алгоритмы вместо знаний. Волшебство вместо понимания.)
Короче, если ваш ребенок во втором классе, распечатайте ему вот такую, правильную, таблицу умножения. Повесьте на стену большую, чтобы он на нее поглядывал, когда делает уроки или сидит за компом. Или еще какой дурью страдает. И напечатайте и заламинируйте ему маленькую (или напишите на картоне). Пусть он ее в школу с собой таскает, и просто удобно под рукой держит. Не помешает на такой таблице выделить квадраты по диагонали, чтобы лучше видно. (Лучше тогда сразу дать ему калькулятор. Что он мучается?)
У моих детей есть — вот такая.
И им это реально помогло во втором классе и до сих пор очень сильно помогает на уроках математики. (То есть они до сих пор не знают её наизусть и считают только с помощью этой таблицы?)
Вот, честное слово, сразу средний балл по математике увеличится, а ребенок перестанет ныть, что математика тупая (С ламинированной бумажкой математика для него будет выглядеть умнее?). В придачу, в будущем вашему ребенку тоже будет проще. Он поймет, что надо шевелить мозгами, а не зубрить. И мало, что поймет, он еще и научится это делать. (Нет. Он поймёт, что мама всегда сделает ему на все случаи жизни разных бумажек-костылей вроде таких шпаргалок)
И повторюсь: в примерах столбиками ничего плохого нет. И количество информации в них содержится такое же, как и в "таблице" (для детей в столбиках информации больше). Но и ничего хорошего в таких примерах тоже нет. Это — информационный мусор, из которого нужное еще не враз найдешь (а кто ищет: взрослый или ребёнок?).
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Главная ошибка в этом тексте — это восприятие таблицы умножения, как набора чисел, которые нужно выучить. Ставится знак равенства между действием, которое очень аккуратно и плавно вводится в начальной школе, и графическим представлением результатов этого действия.
Хотел написать здесь всё, что касается работы с таблицей умножения, но вышло очень длинно. Вынесу развернутые комментарии к этому тексту в отдельную статью.
