В прошлой статье мы разобрали текст c критикой таблицы умножения, нарисованной на обложке школьных тетрадей по математике. Якобы она очень неудобна для детей и поэтому столбики примеров нужно заменить на таблицу Пифагора. К критике присоединился и Артемий Лебедев, прокомментировав это в характерном стиле: «На свете нет абсолютно ни одной причины, почему вместо восьми колонок ненужной пое…ни [ерунды] на задней стороне тетрадок в клетку не нужно печатать Таблицу Пифагора»
Давайте попробуем разобраться, в чём уважаемые автор статьи и известный дизайнер неправы и для чего нужно именно такое представление таблицы умножения на обратной стороне тетради.
***
Начнём издалека.
Как в школе обычно изучают таблицу умножения? Сначала дети учатся складывать и вычитать в пределах десятка, потом то же самое в пределах 20. Далее сталкиваются с задачами, в которых, например, нужно сложить сразу пять двоек. И замечают, что каждый раз складывать подряд довольно неудобно. Поэтому им предлагают упростить задачу — записать не 2+2+2+2+2, а сокращенно 2×5. То есть предлагают взять по два предмета пять раз. Потом с помощью задач учатся считать парами, например, пары руковиц, пары фигуристов и т.д. После этого переходят к умножению на 3. Тоже сначала складывают, потом заменят умножением, потом считают тройками и т.д.. Затем идёт умножение на 4, 5... вплоть до умножения на 10. Всё умножение ведётся всегда строго в пределах 20, чтобы не перегружать детскую память и дать привыкнуть к этому действию и его обозначению.
Всем нам знакомой таблицы умножения как таковой пока нет. Иногда могут выписывают перечень результатов вычислений и называют её “Таблицей умножения чисел до 20”. Но это просто перечень примеров, в который изредка можно для справки заглядывать.
Дальше идёт деление на равные части, как наиболее понятное для учеников. Также в пределах 20. Умножение соответствующих чисел уже ученикам известно, поэтому им гораздо проще. Сначала делят наборы каких-то предметов пополам, потом на 3 части и так далее.
Освоившись в первой двадцатке, дальше ученики выходят за пределы 20 и занимаются сложением и вычитанием чисел до 100. Только после этого происходит последовательное изучение умножения за пределами двадцати. Причём теперь сразу подкрепляется делением. То есть сначала идёт счёт пятёрками, потом умножение на 5, а затем ученики сразу учатся делить на 5. Вот так постепенно за 2 класс происходит изучение таблицы умножения.
Если в процессе изучения этой темы ученик что-то подзабыл, он всегда может свериться со справочником-примерами на обратной стороне тетради. То есть ученик не использует обратную сторону тетради для заучивания. Это просто удобный справочник, чтобы быстро проверить результаты своих вычислений. Сначала ребёнок ею пользуется, а когда он твёрдо запомнил какие-то конкретные числа, то ему просто уже будет лень перепроверять.
Ещё раз: примеры на обложке нужны для быстрой проверки, а не для зубрёжки! Это временная шпаргалка! И здесь нужно учитывать два момента.
Во-первых, важно, что примеры находятся именно на обратной стороне тетради. Ученик не имеет возможности мгновенно воспользоваться такой помощью при решении задачи. Если он подзабыл какое-то значение, он вынужден остановить запись, перевернуть тетрадь, найти там нужный пример и, запомнив ответ, записать в тетрадь. После того, как ученик многократно проделает эти операции, его мозг подскажет, что эффективнее всё-таки выучить эти примеры. И процесс запоминания пойдёт веселее. Если же он всегда будет иметь на столе перед глазами эти ответы (не важно, в табличном виде или столбчатом), он не будет мотивирован на запоминание. Зачем это нужно, если решение всегда рядом? Лучше тогда сразу пользоваться калькулятором. Он-то пофункциональнее таблицы...
По сути, такая внешняя таблица “в шаговой доступности” сродни костылям. На первом этапе реабилитации на них можно опираться, но всё равно нужно параллельно стремиться учиться нормально ходить. А попытки сделать такую таблицу удобной, цветной, интерактивной или ламинированной похожи на попытку сделать костыли более мягкими, комфортными и приятными на ощупь.
Во-вторых, важно, что таблица умножения на обратной стороне даётся именно в виде списка примеров. Чтобы понять, почему такая запись более практична, проследите как второклассник пользуется этим справочником в разном графическом представлении.
Например, он забыл, сколько будет 8×7 и пытается найти ответ. Когда он видит список примеров, он проходит столбцы слева по порядку и легко находит нужный с похожими примерами вида 8×[...] = [...]. Дальше в этом столбце он отсчитывает примеры сверху и находит то, что искал. Помимо непосредственно поиска, при пробегании взглядом по столбцам ученик неявно видит и другие примеры. Это помогает ему закрепить и то, что он уже знает.
По-другому строится работа с табличным представлением. Перед использованием таблицы ученику надо обязательно рассказать, что столбец слева и строка сверху — это числа, которые мы перемножаем. В отличие от естественного перечня примеров, это требует пояснения. Дальше начинается сам поиск. Сначала он слева замечает число 8. Cправа от этого числа он видит строку чисел и начинает по ней двигаться слева направо. Но так как пока зрение у второклассника не может охватить всю строку, он аккуратно ведёт по ней пальчиком. Очень часто уже здесь возникают трудности, так как не получается сохранить внимание на этой строке. Ученик может перескочить на другую, что особенно заметно для конца строки. Но даже если он будет сохранять взгляд на строке, его ожидает другая трудность. Фокус внимания нужно держать не только на этой строке, но и распылять его на верхнюю строку, где нам нужна цифра 7. И пробегая слева направо в пятой строке, нужно взглядом подниматься от этой строки наверх, ожидая встретить там семёрку. Да, можно попробовать обложиться линейками или двумя пальцами вести по столбцу и строке, чтобы не съезжать взглядом. Но не слишком запутанным в таком случае становится поиск одного результата?
Конечно, нам, взрослым и старшеклассникам, этих трудностей не понять. Большинство из нас умеет охватывать всю строку и даже таблицу целиком. Да и ученик в начальной школе тоже может в принципе это сделать, если очень хорошо её знает. Но малознакомую таблицу он не может видеть сразу и полностью. Ровно как взрослые могут окинуть взглядом слово, текстовую строку, а потом и абзац, а дети не могут и поэтому сначала читают по слогам.
Другое типовое применение таблицы — это простое её заучивание. Пока не говорим про правильность/неправильность этого. Обсудим чисто техническую сторону для каждого вида представления. Здесь есть тоже свои подводные камни.
Как вызубрить таблицу умножения по Пифагору? С трудом, так как там указан просто набор чисел, а не примеров. Их не проговорить в уме, ни зрительно запомнить. В случае простой зубрёжки задача задача состоит в том, чтобы как-то вдолбить в подсознание действия и результаты этих действий. Для этого столбцы примеров подходят гораздо лучше. А как зубрить по компактному нагромождению цифр таблице? Каждый раз бегать глазами от числа к числу и к пересечению соответствующих столбцов и строк? Или выучить всё по строкам? Ну хорошо, вот выучили строку “7 14 21 28 35 42 49 56 63”. Но ведь это просто набор подряд идущих чисел. И непонятно как отсюда сразу получить, что 7×6 = 42?
Таблица в виде примеров дана для того, чтобы при ее прочтении ученик смог быстро и без пауз проговорить все множители и результат, а не искать каждый раз по большой матрице верхнюю строку и крайне левый столбец. Запоминать и быстро вспоминать приходится именно тройки (два множителя и результат), а не строки/столбцы матрицы. Таблица Пифагора громоздка и абсолютно неудобна для этого, примеры куда проще для зрительной памяти.
Само такое заучивание, конечно, на порядок хуже постепенного освоения умножения однозначных чисел с помощью обычной школьной методики. Даже если ученик сможет воспроизвести все примеры, это не значит, что он может свободно ими владеть. Распространена ситуация, когда школьник не может 480 разделить на 6, хотя отлично "знает" таблицу умножения. В итоге теперь зубрить и таблицу деления?
Но не это самое опасное в таком изучении таблицы умножения. Как только возникает перспектива зазубривания, начинаются шаманские танцы с бубном в попытке “облегчить” это запоминание. Тогда в ход идут магические заклинания вроде заучивания таких стишков: “Пять на пять — двадцать пять, шесть на шесть — тридцать шесть, шесть на восемь — сорок восемь”. Якобы такие рифмованные строки легче запомнить. А почему бы тогда не рифмовать так: пять на пять — тридцать пять, шесть на шесть — двадцать шесть, семь на восемь — сорок восемь? Это вроде тоже неплохо звучит... При таком рифмованном подходе ученики почти всегда вначале путаются. И кстати, что там с делением? На него тоже будет рифма?
Если подобные микростишки ещё терпимы, то совсем гиблый случай, когда начинают использовать более изворотливые способы запоминания. Например, используя различные свойства умножения. Вы наверняка видели такие трюки. Если в поисковиках набрать “как быстро выучить таблицу умножения”, их там будет целая россыпь. Вот первые картинки, которые выпадают в результатах поиска:
Если ученик владеет такими способами вычисления, но не может без них сразу сказать правильный ответ, то у него будут большие проблемы с дальнейшем изучением математики. Вроде такие приёмы позиционируются как облегчение прямого запоминания, однако это не так. В итоге ученик вместо знаний получает сразу в начальной школе какие-то волшебные обряды на пальцах, которые ведут в сторону магического мышления.
Ещё один аргумент в пользу мнимого преимущества таблицы Пифагора — это её эстетическая красота и симметричность. Проникнувшись ровными рядами чисел, ребенок якобы сам захочет её изучить. Автор исходной статьи в комментариях делает на это упор, предлагая дома с 6 лет развешивать её на стенах:
Знаете, когда ребенок ещё совсем маленький и не умеет читать, над его кроваткой всякие штуки вешают просто для того, чтобы он их изучал. Так вот в таблице в 6 лет смысла гораааздо больше. Он все равно волей-неволей будет ее изучать и смотреть. Спорим, самостоятельно углядит симметрию? А еще поймет, что числа в каждой строчке увеличиваются на одно и то же число. И так далее. Еще совсем не умея умножать.
А к 9 годам, когда она ему понадобится в школе, уже будет не чуждым непонятным предметом, а знакомым и родным
...На мой взгляд предложенная замена одной записи таблицы умножения на другую поможет заинтересовать ребенка математикой. И да, таблицу умножения нужно просто запомнить. Но методики запоминания есть разные. В частности, известно, что начитанные дети пишут грамотнее остальных. Таблица умножения в таком виде, которая постоянно попадается на глаза (если вы внимательно читали текст -- я не настаиваю, чтобы вы таблицу умножения именно зубрили по этой записи, я настаиваю именно на том, чтобы такая таблица постоянно была у ребенка перед глазами), так вот такая таблица умножения повышает у ребенка "начитанность" таблицей умножения. Что, в частности, способствует запоминанию.
То, что изучать умножение по табличке неэффективно, мы уже сказали выше. Состав чисел в пределах десяти вы же не по таблицам учите... Иностранные языки учите по специальным учебным пособиям, а не по словарю или справочным таблицам...
Но сейчас речь о другом. Есть взрослые люди, которые хорошо знают математику, но при этом не владеют методиками преподавания. Обычно у них техническое или (не дай бог!) математическое образование. И конечно, они имеют свой взгляд на правильное преподавание математики.
Например, для них очевидна коммутативность операции умножения. И они считают, что ребенок легко поймёт, почему это так. Ведь так указано в таблице, что не понятно-то? А потом возникают вопросы, почему 25:5 не равно 5:25? Мы же тоже просто переставили? Из-за пропущенного этапа разложения камушков на кучки или собирания палочек в пучки, ученик не осознает очень важного открытия. Ведь когда мы сначала взяли по 2 камушка пять раз, а потом взяли по 5 две кучки, то получилось одно и тоже количество. Или разложили 10 камушков в два ряда по пять и в пять рядов по два. Именно тогда мы получили, что 2×5 = 5×2, а не из волшебной симметричной таблицы.
Или представьте, что взрослый человек скажет фразу “деление — это операция обратная умножению”. Поставьте себя на место маленького ребенка. Как это вообще? Что значит “обратная”, что такое “операция”? А потом в старших классах ученик будет повторять эту фразу как попугай, не понимая, что за ней стоит. Всё, она окончательно стала магической.
При правильном изучении умножения ученик впитывает, хотя и не осознает поначалу, что деление — это операция обратная умножения. Формальное правило появляется позже, когда уже есть база и нужно просто сформулировать то, что уже и так понятно. При директивном вводе каких-то понятий, без предварительной подготовки, без понятного объяснения, любое такое правило становится магическим.
И это мы ещё говорим, про более-менее адекватных родителей. Ведь есть те, которые в математическом угаре могут сразу начать объяснение умножения с коммутативных колец и поля действительных чисел...
Конечно, мне как математику по первому образованию нравится таблица умножения. Она действительно эстетически красива и в ней спрятано много интересных закономерностей. И искать их в ней очень полезно. Но только тогда, когда вы уже очень хорошо её знаете. Вот тогда можно её и поразглядывать. Когда вы не испытываете перед ней страха новизны, то можете открыть какие-то вещи в ней по-новому. Кстати, не факт, что именно таблица Пифагора в этом хороша. Те же самые закономерности можно рассмотреть и в столбиках примеров, если ученик получает удовольствие от работы с числами и понимает, что за ними стоит.
Но не зная действия умножения, ученику опасно выводить какие-то свойства из такой простыни цифр. Это не значит, что школьников не нужно знакомить с этими свойствами. Обоснование указанных выше трюков — это хорошая задача для крепких учеников.
***
Одна из особенностей памяти такова, что мы часто помним не то, что было на самом деле. Мы расставляем акценты со своей взрослой колокольни уже с учетом опыта и не помним, как на самом деле мыслили будучи ребенком. Дети в 7-8 лет не в курсе формального определения слова "таблица". В большинстве своём они видят столбики в конце тетрадки. Привыкают к тому, что учитель это называет таблицей. Потом видят разлинованные таблицы по русскому языку — усваивают, что и это таблица. И так, через множество примеров они понимают, что такое таблица. Также постепенно школьник расставляет в своем сознании, например, пруд, озеро, море, океан по размеру, а уже потом с учетом формального определения понимает, что точно за всем этим стоит...
Взрослые, привыкшие к экселю, конечно, будут больше симпатизировать таблице. Она хороша для человека, умеющего анализировать, сопоставлять, работать с таблицами, объединением цифр. А детям ещё только предстоит научиться правильно считать, искать взаимосвязи в реальном мире, синтезировать знания и пр. И делать это желательно по грамотно выстроенным методикам...
