После того, как мы обсудили быстрый счёт и разобрали элементарные приёмы, мы можем постепенно перейти к более продвинутым техникам. В обычной школе их почти никогда не изучают отдельно. Иногда их вскользь показывают в профильных математических классах в некоторых сильных школах. Или же учителя-энтузиасты делятся ими, на личном примере показывая, как они сами решали бы какой-нибудь пример. При этом многие преподаватели сходятся во мнении, что необходимо системное обучение такого рода техникам. Это значительно ускоряет вычисления, снижает риск появления арифметических ошибок и в целом повышает уровень математического мышления. Работа с использованием техник быстрого счёта часто гораздо полезнее простого прорешивания одинаковых заданий из учебника.
Перед тем, как начать использовать эти техники, желательно дополнительно знать наизусть:
- таблицу квадратов от 10 до 20, а лучше до 25;
- значения степеней 2 (вплоть до десятой);
- значения степеней 3 (вплоть до шестой);
- степени 5 (вплоть до четвёртой).
Рекомендуем сначала запоминать эти вещи простым заучиванием, а потом закреплять регулярным применением в различных ситуациях.
И прежде, чем мы перейдём к самим приёмам, ещё одно важное замечание. Рассмотренные ниже техники — это не какие-то цирковые трюки. Многие из них очевидны, и, скорее всего, вы они о них уже знаете. А если и не знаете, то используете неосознанно. Мы не будем описывать различные альтернативные способы умножения чисел, не будем рассказывать про метод опорных чисел или рассказывать как с некоторой погрешностью извлечь в уме кубический корень. Нас интересует реальная практика, которая пригодится при письменном решении задач с экзаменов. Для тех, кто хочет узнать больше, есть книга «Быстрая математика. Секреты устного счета» (Б. Хэндли). Это хорошая книга для продвинутых вычислителей, и некоторые способы взяты в том числе оттуда. Также мы использовали небольшую брошюру «Быстрый счёт» (Я. Перельман) с некоторыми добавлениями и сокращениями.
Для удобства все приёмы мы разделили на четыре больших пункта: сложение/вычитание, умножение/деление, извлечение корней и остальные приёмы.
💎 Сложение/вычитание
- близкие круглые числа
64 + 97 = 64 + (100 – 3) = (64 + 100) – 3 = 164 – 3 = 161
151 – 88 = 151 – (100 – 12) = 151 – 100 + 12 = 51 + 12 = 63
- изменение порядка слагаемых
64 + 77 + 145 + 23 + 136 = (64 + 136) + (77 + 23) + 145 = 200 + 100 + 145 = 445
- близко к среднему арифметическому
17 + 14 + 13 + 15 + 11 + 13 + 13 + 11 + 18 + 17 = (15 + 2) + (15 – 1) + (15 – 2) + (15 + 0) + (15 – 4) + (15 – 2) + (15 – 2) + (15 – 4) + (15 + 3) + (15 + 2) = 15 · 10 + (2 – 1 – 2 + 0 – 4 – 2 – 2 – 4 + 3 + 2) = 150 — 8 = 142
- суммирование чётного числа членов арифметической прогрессии
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 = (2 + 29) + (5 + 26) + (8 + 23) + (11 + 20) + (14 + 17) = 31 + 31 + 31 + 31 + 31 = 5 · 31 = 155
💎 Умножение/деление
- умножение на 11 и 9
36 · 11 = 36 · (10 + 1) = 36 · 10 + 36 = 360 + 36 = 396
36 · 9 = 36 · (10 – 1) = 36 · 10 – 36 = 360 – 36 = 324
- умножение и деление на 5, 25, 125 (или на кратные им)
46 · 5 = (23 · 2) · 5 = 23 · 2 · 5 = 23 · 10 = 230
375 · 64 = (375 · 8) · (64 : 8) = (3 · 125 · 8) · (64 : 8) = 3 · 1000 · 8 = 24000
- умножение и деление на одно число
27 · 37 = (27 : 3) · (37 · 3) = 9 · 111 = 999
- использование квадратов суммы и разности чисел
31² = (30 + 1)²= 30² + 2 · 30 + 1 = 900 + 60 + 1 = 961
29² = (30 – 1)² = 30² – 2 · 30 + 1 = 900 – 60 + 1 = 841
- использование разности квадратов
24 · 26 = (25 – 1) · (25 + 1) = 25² – 1² = 625 – 1 = 624
32 · 28 = (30 + 2) · (30 – 2) = 30² – 2² = 900 – 4 = 896
- разложение одного множителя на слагаемые
23 · 24 = 23 · (23 + 1) = 23 · 23 + 1 · 23 = 529 + 23 = 530 – 1 +23 = 553 – 1 = 552
- общая формула умножения (вместо умножения столбиком)
43 · 32 = (40 + 3) · (30 + 2) = 40 · 30 + 3 · 30 + 40 · 2 + 3 · 2 = 1200 + 90 + 80 + 6 = 1200 + 170 + 6 = 1376
- последовательное умножение на 2
112 · 8 = 122 · 2 · 2 · 2 = 244 · 2 · 2 = 488 · 2 = (500 – 12) · 2 = 1000 – 24 = 976
- возведение в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5.
65² = 4225 (первые две цифры это результат произведения первой цифры и следующей за ней 6 · 7 = 42, вторые две цифры = 25).
💎 Извлечение корней
- ускоренный подбор:
1521 = [15] _[21]
Какое ближайшее число, меньшее 15, является точным квадратом? Это 9 =3². Т.е. первая цифра — это 3. Какие цифры при возведении в квадрат оканчиваются на 1? Это 1 и 9. Проверкой убеждаемся, что 39 подходит.
- через разложение на множители: 324 = 4 · 81=2² · 9²
💎Остальные приёмы
- свойство 1001 = 7 · 11 · 13
Чему равен остаток от деления 3000 на 7?
3000 – 3 + 3 = 3003 – 3 – 7 + 7 = 3003 – 7 + 4.
Остаток от деления на 7 равен 4
- свойство 111 = 37 · 3
37 · 12 = 37 · 3 · 4 = 111 · 4 = 444
💡 Комбинации методов
Пример 1: 99 · 25 = 11 · 9 · 25 = 11 · 15 · 15 = 225 · 11 = 225 · (10 + 1) = 2250 + 225 = 2475
или (100 – 1) · 25 = 100 · 25 – 1 · 25 = 2500 – 25 = 2475
Пример 2: 96 · 25 = (100 – 4) · 25 = 2500 – 100 = 2400
или 96 · 25 = (96 : 4) · (25 · 4) = 24 · 100 = 2400
И в конце ещё раз напомним про вычисления столбиком. Это всё-таки довольно надёжный и работающий способ. Указанные выше способы хорошо использовать, когда вы точно понимаете, что решите задачу эффективнее.
Например, посчитаем значение выражения 169 · 25
Вариант 1: 169 · 25 = 13 · 13 · 5 · 5 = 13 · 5 · 13 · 5 = 65 · 65 = 65² = 4225
Вариант 2: 169 · 25 = (168 + 1) · 25 = 42 · 4 · 25 + 25 = 4225.
Вроде бы есть два способа быстрого умножения, но чтобы их использовать, нужно разглядеть в исходных числа нечто полезное. И данном случае счёт столбиком будет эффективнее. То есть не нужно впадать в крайность и теперь пытаться любое выражение считать быстрым счётом. Очень многое зависит от контекста.
