Всем алоха! Продолжаем решать интересные (ха-ха) задачки из школьной математики. Сегодня на операционном столе у нас система уравнений с параметром:
- Внимание вопрос! Когда система будет иметь ровно четыре решения?
Используем метод продолжительного гипноза уравнения и замечаем во втором уравнении разность квадратов:
Воспользуемся формулой разности квадратов:
Соответственно, второе уравнение будет равно нулю, если один из множителей будет равен нулю. Перезапишем систему в более компактном виде:
Напомню, что скобка "[" – есть "или", а скобка "{" – есть "и".
Как мы заявили в заголовке – нас ждет график. Выразим y во всех уравнениях, чтобы график было строить проще и удобнее. Заметим, что первое уравнение – это гипербола, а два оставшихся уравнения – прямые линии:
Приравняем a к нулю и построим графики полученных функций:
Параметр a будет отвечать за вертикальное перемещение прямых линий. Заметим, что ветки гиперболы бесконечны. Следовательно при вертикальном перемещении желтой прямой мы всегда будем иметь два решения.
Чтобы успешно решить задачу, нужно понять, когда еще два решения будет давать синяя прямая:
Видим из графика, что два решения будут выше точки касания для левой ветви гиперболы и ниже точки касания для правой ветви гиперболы. Чтобы найти точку касания приравняем уравнение гиперболы и уравнение прямой:
Получаем квадратное уравнение, описывающее, в каких точках прямая будет пересекаться с гиперболой. Нам требуется две точки пересечения. Следовательно, дискриминант этого уравнения должен быть строго положителен:
Итак, желтая прямая будет давать два решения при любом a, синяя прямая будет давать два решения при а больше четырех и а меньше минус четыре. Соответственно, при таких значениях параметра всего решений будет четыре.
Всем спасибо!
Математика не ваш конек? Прочитайте статью "Как полюбить математику?"
Математика ваш конек? Попробуйте систему посложнее или решите неравенство графически.
Если задача вам понравилась, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!
