Задача #3: Решаем неравенства графически?

Для x и y, удовлетворяющих системе:

найти все возможные значения суммы квадратов переменных:

Прежде чем начать решать любую задачу – ее нужно проанализировать. Поэтому сначала долго и упорно смотрим на то, что у нас дано, потом долго и упорно смотрим на то, что нужно найти. Затем видим подсказку:

Сумма квадратов координат есть квадрат расстояния до точки, что в общем то понятно из теоремы Пифагора. Значит ли это, что задача имеет геометрическое решение?

Выразим в исходной системе y в каждом неравенстве:

Для начала мысленно "заменим" знаки неравенства на знаки равно и построим получившиеся графики уравнений:

Все графики - прямые, для их построения достаточно двух точек

На примере первого неравенства разберем, что такое "график неравенства". При x = 0 получим, что y ≤ 5. Значит y может быть равен 1, -2, 5, 0, -8 и так далее.

Соответственно, для каждого икса у нас есть "полоса игреков" уходящая бесконечно вниз. Получается, что графиком неравенства y ≤ f(x) будет область, ограниченная функцией y = f(x):

Две из трех областей "уходят" вниз, а одна - наверх. Направление можно определить по знаку неравенства

Решением системы будет область, ограниченная всеми тремя неравенствами:

Для нахождения точек пересечения следует попарно приравнять прямые друг другу

Из рисунка видим, что все возможные пары ( x ; y ) заключены в заштрихованной области. Вспомним, что в самом начале мы определили сумму квадратов координат, как квадрат расстояния до точки.

Для решения задачи нам нужно найти наибольшее расстояние до вершин треугольника (нетрудно догадаться, что самая удаленная вершина – крайняя левая) и наименьшее расстояние до ближайшей стороны треугольника.

Сочинение на тему "Почему наибольшим расстоянием будет расстояние до дальней вершины, а наименьшим – перпендикуляр к ближайшей стороне?" останется на дом.

Нахождение наибольшего расстояния не вызывает трудностей:

Для нахождения наименьшего расстояния рассмотрим треугольник, ограниченный осями координат и прямой y = -4x - 5:

Заметим, что площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя (как минимум) различными способами. С помощью формул площадей составим уравнение нахождения высоты. Тогда квадрат наименьшего расстояния будет равен:

И окончательно получим:

Всем спасибо! Все свободны :)

Если вы просто ненавидите математику и ничего не поняли — прочитайте статью "Как перестать ненавидеть математику?"

Если отношения с математикой у вас уже в порядке — попробуйте систему посложнее или решите задачку по тригонометрии.

Если вам понравилась задача, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!