Помним! Для успешного решения системы уравнений количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных.
В редких случаях можно обойтись меньшим количеством уравнений. Естественно, что такие редкие случаи попадаются на всевозможных олимпиадах.
Видим недобор уравнений - решаем через свойства того, что нам оставили. В данном случае нам оставили квадраты. Мы помним, что квадрат – число положительное. Оставим x и y слева, все остальное перенесем вправо.
Завсегдатаи олимпиад заметят, что левая часть стала страшно похожа на квадрат суммы (или разности):
И к этому мы еще вернемся. А сейчас пристально смотрим на правую часть:
Чтобы до конца "прочувствовать" выводы, которые мы получили – подставляйте различные числа в уравнения. Отрицательное число, положительное число, ноль, дробь. Неравенства всегда будут выполняться.
Заметим, что если правая часть равенства больше некоторого числа, то и левая часть больше этого числа (аналогично для знаков <; <=; >=).
Вы восхитительны! Мы избавились рассуждениями сразу от двух переменных. Самое время применить формулу квадрата разности.
Именно разности, потому что нам требуется сложить неравенства, а складывать неравенства мы можем только при одинаковом знаке.
Для применения формулы домножим первое неравенство на -2 и сложим неравенства:
"Собираем" квадрат разности и видим, что наш квадрат меньше либо равен 0. Но квадрат положителен по определению, тогда:
Зная, что x=y, можем заменить исходную систему на эквивалентную:
Домножим первое уравнение на 2 и вычтем из него второе:
Получаем, что сумма двух квадратов равна нулю. Заметим, что если t или z отличны от нуля, то и их сумма будет больше 0, следовательно:
t = z = 0
Подставим в первое уравнение все полученные данные и найдем ответ на нашу систему:
Поздравляю всех, кто смог дойти до конца. Если вам понравилась задача - ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много :)
P.S. Можно решать без неравенств, сразу собирая полный квадрат, но получится чуть более объемное решение.