Сегодня я предлагаю вам решение довольно сложной задачи со Всероссийской олимпиады школьников позапрошлого года. Эта задача предлагалась во второй день под третьим номером в десятом классе. Задача сложна двумя аспектами. Во-первых, в ней довольно трудно нарисовать хороший чертеж. А, во-вторых, она довольно сложно и муторно решается в прямую сторону. Поэтому первое, что надо сделать -- проанализировать картинку и сформулировать задачу в более удобной формулировке.
Почему я выбрал эту задачу? Потому, что у нее, помимо школьного решения, доступного любому девятикласснику, есть и нестандартное, трудное, но короткое. Не исключаю, что автор задачи как-то так ее и придумал. Опирается оно на несколько очень красивых фактов, касающихся равнобоких гипербол, описанных около треугольника.
Равнобокой называется гипербола, асимптоты которой перпендикулярны. Оказывается, что если три вершины треугольника лежат на гиперболе, то точка пересечения высот треугольника принадлежит ей в том и только в том случае, когда гипербола равнобокая. Более того, через любую точку плоскости можно провести такую гиперболу (которая проходит через вершины треугольника и его ортоцентр). В нашей задаче надо рассмотреть такую гиперболу, проходящую через точки A, B, C, D и H. А далее окажется, что она автоматически проходит через точку K, что после нетрудного счета углов будет означать, что K является ортоцентром треугольника HDC.
Равнобокая гипербола и ее свойства требуют отдельного поста, который я обещаю в ближайшем будущем написать.