Автор кается, что не смог сдержать обещание начать вовремя двухнедельный планиметрический марафон, поскольку был в местах, недоступных для Всемирной Сети Интернет (the dacha). Но время отсутствия не было потрачено впустую, все статьи уже готовы, будут выкладываться даже регулярнее, чем планировалось, а посему — подписывайтесь и почаще заходите на канал!
Итак, ребята и девчата, мы начинаем наше увлекательное путешествие в мир планиметрии.
Скажу честно — это один из моих самых любимых разделов математики. Минимум формул, максимум логики, отсюда — такое чувство радости от решения задач. Надеюсь, вы разделите мои эмоции, пока будете читать эти статьи, даже если до этого на дух не переносили планиметрию :)
За что же её можно так не любить? Как и абсолютно любой предмет, любой раздел школьной программы — отсутствие у ученика базы. Оно заставляет его застревать на более сложных и комбинированных задачах, где применяются и старые теоремы, и новые. Из-за этого всё резко становится страшно, сложно, непонятно и, следовательно, неприятно.
Ещё более неприятно становится, когда выясняется, что за планиметрию в профильном ЕГЭ по математике даётся целых пять баллов — 3-ий номер, 6-ой (по 1 баллу) и 16-ый (3 балла). И это не считая того, что в стереометрии (8-ой и 14-ый номера) для решения задач периодически используются теоремы из планиметрии!
Ну что, мой друг, появилась мотивация? В таком случае — в бой!
Возможно, материал этой статьи кому-то покажется слишком простым (не могу же я сразу ядрёные 16-ые задачи в капусту начать рубить :)). И это замечательно — значит, вы освоили начальные понятия. Но, может быть, вы вспомните важные моменты, которые уже успели забыться. Или вообще узнаете что-то новое — я постаралась здесь, кроме начальных знаний, упомянуть моменты, о которых иногда забывают.
Расходимся по углам
Всё начинается с точки, прямой, отрезка и луча. Большинство из вас, думаю, помнят, что из себя представляют эти товарищи.
Упрощённо мы можем охарактеризовать их так:
Прямая (линия) не имеет ни начала, ни конца, не искривляется, как правило, обозначается строчной буквой (например, а) ;
Отрезок — часть прямой, заключённая между двумя точками, следовательно — имеет начало и конец, обозначается через конечную и начальную точки (две заглавные буквы, например, CD);
Луч — часть прямой, в отличие от отрезка, имеющая начальную точку, но не имеющая конечную. Можно обозначать двумя заглавными буквами (EM) или одной строчной (f).
Но вот что мы охарактеризовать не можем, так это точку. Этот геометрический объект не имеет ни направления, ни размера, ни-че-го. Зато любую другую, более сложную геометрическую фигуру можно считать множеством точек — ту же прямую.
Все эти геометрические объекты дают нам большой простор для разных комбинаций. Одна из самых основных — это, конечно, углы.
По определению, угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, имеющими общую точку.
Так как у лучей могут быть разные направления, мы можем получить большое количество углов, каждый из которых наделяется особой характеристикой — градусной мерой угла (в геометрии это интервал (0;180°]). Из-за этого появляется классификация углов — острые, прямые, тупые и развёрнутые.
Важнейшие углы
Когда встречаются два угла, мы сталкиваемся с первыми практически значимыми теоремами, регулярно применяемыми для решения даже самых сложных задач.
Прежде всего, это смежные и вертикальные углы.
Смежные
Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением одна другой.
Что же такого интересного мы знаем про смежные углы, что может помочь нам для решения задач?
Посмотрите на рисунок:
Очевидно, что у нас появляется развёрнутый угол, образованный прямой AB (или, скорее, двумя лучами — OA и OB). Который, как мы помним, имеет градусную меру в 180°. А потом мы пересекаем прямую с лучом OC, который раскалывает наш развёрнутый угол на две части, два угла с какими-то своими градусными мерами. Какая разница, с какими? Важно то, что каждый из этих углов дополняет другого до 180°. Вы же, когда режете яблоко на какие-то две части, понимаете, что в сумме они дают одно целое яблоко? :) Вот здесь то же самое.
Сумма смежных углов равна 180º .
Если один из таких углов равен 150°, то другой — обязательно 30°. Если один равен 88°, то другой — 92°. Если первый равен x, то второй, y — 180°-x. Какие бы эти x и у не были, чему бы не были равны.
Биссектрисы смежных углов
Теорема, о которой часто забывают, но, которую, впрочем, очень легко доказать.
Для начала вспомним, что такое биссектриса — это крыса, которая бегает по углам....
Биссектриса — это луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол пополам.
Так вот, оказывается, если провести биссектрисы у двух смежных углов, то они будут образовывать прямой угол!
Проведём от наших смежных углов биссектрисы OM и OH.
И попробуем доказать их перпендикулярность.
- Только зачем, если можно просто выучить это свойство? — спросит любопытный читатель.
Отвечаю: потому что мы хотим высокие баллы и, в том числе, полный балл за шестнадцатую задачу. А пока мы не научимся доказывать какие-то геометрические факты, мы не можем даже думать об этом. Учиться надо с простого, с таких вот маленьких теорем — после таких тренировок бой с более сложными задачами будет идти гораздо легче.
Итак, напоминаю, наша задача: доказать, что биссектрисы OM и OH перпендикулярны.
Легко? А теперь — попробуйте доказать сами, не подсматривая. Дело трёх минут (а то и двух, моё доказательство расписано даже слишком подробно), но зато как вам помогут эти три минуты потом, если вам попадётся эта теорема на экзамене. Пусть и, скорее всего, не в явном виде.
Вертикальные
Вертикальные углы - это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Если переводить это определение на человеко-бытовой язык, то вертикальные углы — это углы, которые образовались при пересечении двух прямых, и теперь лежат друг напротив друга.
Для того, чтобы понять, зачем они нужны, нужно вернуться к уже известным нам товарищам — смежным углам.
Допустим, была прямая a. Её пересекла прямая b, образовав смежные углы 1 и 2. Мы можем "остановить" пересечение на одной точке, а можем продлить прямую b, как на рисунке:
После этого у нас образуются углы 3 и 4. Разумеется, они тоже смежные. А углы 1 и 3, 2 и 4? А вот они уже вертикальные. И у них есть одно замечательное свойство:
Вертикальные углы равны.
Коротко и ясно. Но непонятно, откуда это свойство взялось. Придётся и его доказывать!
(вообще, будьте готовы к тому, что мы будем доказывать практически все теоремы, даже самые элементарные).
Докажем для углов 1 и 3:
Всё элементарно, не правда ли, мой дорогой Ватсон? Ты ещё погоди, скоро мы будем кромсать и крушить что-то поинтереснее... Надеюсь, нынешнее ощущение лёгкости решения не покинет нас в этот ответственный момент :))
Угол между прямыми
Внимание! Это очень распространённая ошибка.
Вот бывает, у человека спрашиваешь, какой угол будет между прямыми, если их пересечь, а он тут же, не задумываясь, радостно выдаёт: "Вертикальный!"
А какой вертикальный-то? Их две пары образуется, пара с большими и пара с меньшими углами. Или оба варианта верны?
Друзья мои, запомните: угол между прямыми — всегда наименьший. Например, если у вас образуются вертикальные углы с градусной мерой 100° и 80°, то вы выбираете 80°. А вот если один из углов при пересечении оказался равен 90°, то не волнуйтесь — там все углы будут прямые (проверьте, если не верите).
Так что здесь сложного-то было?!
А вот сейчас будет ответ для самых умных и находчивых.
Конечно, нет ничего сложного в том, чтобы увидеть смежные углы на таких "голых" чертежах, какие были в этой статье. Не труднее усмотреть вертикальные при пересечении диагоналей в прямоугольнике.
А давайте просто представим, что вы пришли на ЕГЭ. Добрались, через тернии, к 16-ой задаче. И там пришлось нарисовать вот такую красоту:
О вертикальных и смежных углах вы вспомните явно не сразу — сначала прогоните в голове свойства оружностей, потом плавно начнёте разбирать по косточкам прямоугольный треугольник... А ведь эти углы могут сильно облегчить вам задачу и помочь заработать заветный балл!
Так что же делать, как не оплошать?
Ответ прост: учить теорию, ПОНИМАТЬ её, для понимания уметь доказывать свойства, а затем закреплять всё это на практике так, чтобы видеть эти углы в каждой задаче, стоит им только там появиться.
Кстати о практике — в следующей статье мы разберём, кроме теории, парочку хороших задач, а одна из них будет от меня. Замороченная, с чертежом, не уступающим последнему в этой статье, но оттого и наиболее весёлая!
Чтобы не пропустить веселье, подпишись на канал. И не забудь поставить лайк, чтобы помочь его продвижению. Поставил? Ай, молодца! ;)
