Несложная задачка для восьмиклассника.
Пифагорова тройка — три целых числа, для которых выполнена теорема Пифагора: a² + b² = c².
Самая известная тройка — Египетский треугольник 3² + 4² = 5².
Давайте назовём пифагоровы тройки, где гипотенуза длиннее большего катета ровно на единицу, интересными. Тройка 3, 4, 5 — интересная. Вот еще пример: 41, 840, 841. А тройка 6, 8, 10 — не такая.
А еще интересные тройки бывают?
Решение
Посмотрим внимательно на теорему Пифагора:
a² + b² = c²
Перенесем больший катет в другую часть равенства:
a² = c² − b² = (c − b)·(c + b)
Вспомним, что в интересной тройке c − b = 1. Значит,
a² = c + b
Квадрат меньшего катета равен сумме двух соседних натуральных чисел. Отсюда следует, что a обязательно нечетно.
А верно, что любое нечетное a годится?
Возьмем a = 2n + 1, тогда a² = 4n² + 4n + 1 = (2n² + 2n) + (2n² + 2n + 1)
То есть тройка 2n + 1, 2n(n + 1), 2n(n + 1) + 1 будет интересной пифагоровой тройкой.
Другие задачи на теорему Пифагора
1. Разрежьте какой-нибудь квадрат на квадратики двух разных размеров так, чтобы маленьких было столько же, сколько и больших. (автор: Дмитрий Шноль, Математический праздник, 2008 год, 6 класс)
2. Можно ли в прямоугольник 5×6 поместить прямоугольник 3×8?
3. Кузнечик умеет прыгать только ровно на 50 см. Он хочет обойти 8 точек, отмеченных на рисунке, сторона клетки равна 10 см.
Какое наименьшее количество прыжков ему придётся сделать?
(автор: Татьяна Голенищева-Кутузова, Московская математическая олимпиада 2012 год, 8 класс)
Решения пишите в комментариях, скоро обсудим.
Интересные факты о теореме Пифагора смотрите в канале «Математика с Надеждой»
Благодарю телеграм-канал «Общий знаменатель», где я встретила задачу про интересные тройки